Способы представления синусоидальных токов, напряжений, ЭДС
В современной технике широко используют разнообразные по форме переменные токи и напряжения: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. Значение тока, напряжения, ЭДС в любой момент времени t называется мгновенным значением и обозначается малыми строчными буквами, соответственно
i = i(t); u = u(t); e = e(t).
Токи, напряжения и ЭДС, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения происходят, называют периодом Т.
Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, то ток называют синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды, то ток несинусоидальный.
В промышленных масштабах электрическая энергия производится, передается и расходуется потребителями в виде синусоидальных токов, напряжений и ЭДС,
При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин.
Аналитический способ
i(t) = I m sin(ωt + ψ i),
для напряжения
u(t) = U m sin (ωt +ψ u),
e(t) = E m sin (ωt +ψ e),
В уравнениях (2.1 – 2.3) обозначено:
I m , U m , E m – амплитуды тока, напряжения, ЭДС;
значение в скобках – фаза (полная фаза);
ψ i , ψ u , ψ e – начальная фаза тока, напряжения, ЭДС;
ω – циклическая частота, ω = 2πf;
f – частота, f = 1 / T; Т – период.
Величины i, I m – измеряются в амперах, величины U, U m , e, E m – в вольтах; величина Т (период) измеряется в секундах (с); частота f – в герцах (Гц), циклическая частота ω имеет размерность рад/с. Значения начальных фаз ψ i , ψ u , ψ e могут измеряться в радианах или градусах. Величина ψ i , ψ u , ψ e зависит от начала отсчета времени t = 0. Положительное значение откладывается влево, отрицательное – вправо.
Временная диаграмма
Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).
i(t) = I m sin(ωt - ψ i).
Графоаналитический способ
Рис. 2.2
Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.
Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.
Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.
Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.
В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.
Пример (рис. 2.3)
Рис. 2.3
i 1 (t) = I m1 sin(ωt)
i 2 (t) = I m2 sin(ωt + ψ 2)
Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:
i(t) = i 1 (t) + i 2 (t) = I m1 sin(ωt) + I m2 sin(ωt - ψ 2) = I m sin(ωt + ψ).
Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси (рис. 2.4):
I m sin ψ = I m2 sin ψ 2 ;
I m cos ψ = I m2 cos ψ 2 + I m1 ;
Рис. 2.4
Из равенств (2.4 – 2.5) получаем
;
.
Индуктивность
Вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле, которое характеризуется вектором магнитной индукции В и магнитным потоком Ф:
Если поле образуют несколько (w) проводников с одинаковым током, то используют понятие потокосцепления ψ
Отношение потокосцепления к току, который его создает называют индуктивностью катушки
При изменении во времени потокосцепления согласно закону Фарадея возникает ЭДС самоиндукции
e L = - dψ / dt.
С учетом соотношения (2.8) для eL получаем
e L = - L · di / dt.
Эта ЭДС всегда препятствует изменению тока (закон Ленца). Поэтому, чтобы через проводники все время тек ток, необходимо к проводникам прикладывать компенсирующее напряжение
Сопоставляя уравнения (2.9) и (2.10) получаем
u L = L · di / dt
Это соотношение является аналогом закона Ома для индуктивности. Конструктивно индуктивность выполняется в виде катушки с проводом.
Условное обозначение индуктивности
Катушка с проводом кроме свойства создавать магнитное поле обладает активным сопротивлением R.
Условное обозначение реальной индуктивности.
Единицей измерения индуктивности является Генри (Гн). Часто используют дробные единицы
1 мкГн = 10 –6 Гн; 1 мкГн = 10 –3 Гн.
Емкость
Все проводники с электрическим зарядом создают электрическое поле. Характеристикой этого поля является разность потенциалов (напряжение). Электрическую емкость определяют отношением заряда проводника к напряжению
С учетом соотношения
получаем формулу связи тока с напряжением
i = C · du C / dt.
Для удобства ее интегрируют и получают
u C = 1 / C · ∫ i dt.
Это соотношение является аналогом закона Ома для емкости.
Конструктивно емкость выполняется в виде двух проводников разделенных слоем диэлектрика. Форма проводников может быть плоской, трубчатой, шарообразной и др.
Единицей измерения емкости является фарада:
1Ф = 1Кл / 1В = 1Кулон / 1Вольт.
Оказалось, что фарада является большой единицей, например, емкость земного шара равна ≈ 0,7 Ф. Поэтому чаще всего используют дробные значения
1 пФ = 10 –12 Ф, (пФ – пикофарада);
1 нФ = 10 –9 Ф, (нФ – нанофарада);
1 мкФ = 10 –6 Ф, (мкФ – микрофарада).
Условным обозначением емкости является символ
Элемент R (резистор)
Зададим напряжение и ток в виде соотношений
u(t) = U m sin(ωt + ψ u),
i(t) = I m sin(ωt + ψ i).
Известно, что для резистора ψ u = ψ i , тогда для р получим
p(t) = u(t) i(t) = U m I m sin 2 (ωt + ψ i).
Из уравнения (2.32) видно, что мгновенная мощность всегда больше нуля и изменяется во времени. В таких случаях принять рассматривать среднюю за период Т мощность
Если записать U m и I m через действующие значения U и I: , , то получим
По форме уравнение (2.34) совпадает с мощностью на постоянном токе. Величину Р равную произведению действующих значений тока и напряжения называют активной мощностью. Единицей ее измерения является Ватт (Вт).
Элемент L (индуктивность)
Известно, что в индуктивности соотношение фаз ψ u = ψ i + 90°. Для мгновенной мощности имеет
Усредняя уравнение (2.35) по времени за период Т получим
Для количественной оценки мощности в индуктивности используют величину Q L равную максимальному значению р L
Q L = (U m I m) / 2
и называют ее реактивной (индуктивной) мощностью. Единицей ее измерения выбрали ВАр (вольт-ампер реактивный). Уравнение (2.36) можно записать через действующие значения U и I и используя формулу U L = I X L получим
Элемент С (ёмкость)
Известно, что в емкости соотношение фаз ψ u = ψ i - 90°. Для мгновенной мощности получаем
p C (t) = u(t) I(t) = (U m I m) / 2 · sin(2ωt).
Среднее значение за период здесь также равно нулю. По аналогии с уравнением (2.36) вводят величину Q C = I 2 X C , которую называют реактивной (емкостной) мощностью. Единицей ее измерения также является ВАр.
Если в цепи присутствуют элементы R, L и С, то активная и реактивная мощности определяются уравнениями
где φ – угол сдвига фаз.
Вводят понятие полной мощности цепи
.
С учетом уравнений (2.37) и (2.39), (2.40) можно записать в виде
Единицей измерения полной мощности является ВА – вольт-ампер.
Закон Ома
Под законом Ома в комплексной форме понимают:
Í = Ú / Z
Комплексное сопротивление участка цепи представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует величине активного сопротивления, а коэффициент при мнимой части – реактивному сопротивлению.
По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи:
R + j X - активно-индуктивное сопротивление;
R – j X - активно-емкостное.
Однофазные электрические цепи переменного тока
Большинство потребителей электрической энергии работает на переменном токе. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Это объясняется преимуществом производства и распределения этой энергии. Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным заключается в возможности с помощью трансформаторов повышать или понижать напряжение, с минимальными потерями передавать электрическую энергию на большие расстояния, в трехфазных источниках питания получать сразу два напряжения: линейное и фазное. Кроме того, генераторы и двигатели переменного тока более просты по устройству, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока.
В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. В генераторах переменного тока получают ЭДС, изменяющуюся во времени по закону синуса, и тем самым обеспечивают наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок. Кроме того, синусоидальная форма тока и напряжения позволяет производить точный расчет электрических цепей с использованием метода комплексных чисел и приближенный расчет на основе метода векторных диаграмм. При этом для расчета используются законы Ома и Кирхгофа, но записанные в векторной или комплексной форме.
Основы > Теоретические основы электротехники
Электрические цепи переменного тока
Переменный ток получил гораздо большее распространение в промышленности и в быту, чем постоянный, так как упрощается конструкция электродвигателей, а синхронные генераторы могут быть выполнены на значительно большие мощности и более высокие напряжения, чем генераторы постоянного тока. Переменный ток позволяет легко изменять величину напряжения с помощью трансформаторов, что необходимо при передаче электроэнергии на большие расстояния.
Электрический ток, возникающий под действием э. д. с, которая изменяется по синусоидальному закону, называют
переменным
. По существу, переменный ток - это вынужденные колебания тока в электрических цепях.
Амплитудой
переменного тока называется наибольшее значение, положительное или отрицательное, принимаемое переменным током.
Периодом
называется время, в течение которого происходит полное колебание тока в проводнике.
Частота
-
величина, обратная периоду.
Фазой
называется угол
или
, стоящий под знаком синуса. Фаза характеризует состояние переменного тока с течением времени. При t=0 фаза называется начальной.
Периодический режим:
. К такому режиму может быть отнесен и синусоидальный:
где
- амплитуда;
- начальная фаза;
- угловая скорость вращения ротора генератора.
При
f
=50Гц
T
= 1/
f
=0,02 с,
314рад/с.
График синусоидальной функции называется
волновой диаграммой.
Расчет цепей переменного тока с использованием мгновенных значений тока, напряжения и ЭДС требует громоздкой вычислительной работы. Поэтому изменяющиеся непрерывно во времени токи, напряжения и ЭДС заменяют эквивалентными во времени величинами.
При расчете электрических цепей синусоидальную функцию выражают по формуле Эйлера через экспоненциальные функции:
где
Тогда
где
-
поворотный множитель;
-
комплексная амплитуда напряжения;
- сопряженная комплексная амплитуда напряжения.
Таким образом, синусоидальное напряжение можно представить на комплексной плоскости вращающимся вектором. Тогда амплитудное значение напряжения будет представлять собой модуль или длину вектора напряжения .
Вектор напряжения на комплексной плоскости
Так как в цепи с синусоидальным напряжением ток тоже будет подчиняться этому закону, то аналогично можно записать
где
- комплексная амплитуда тока; *
-
сопряженная комплексная амплитуда тока.
Разделив напряжение на ток, получим закон Ома в комплексном виде:
При
напряжение на сопротивлении согласно закону Ома
. Таким образом, следует отметить, что на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе и
(см. рисунок).
Кривые напряжения и тока в активном сопротивлении
Величину переменного напряжения или тока можно оценить значением амплитуды или средним значением за полупериод или действующим значением. При изменении напряжения или тока по закону синуса среднее значение напряжения определяется :
При большой частоте вращения ротора генератора, т. е. при большой частоте колебаний э. д. с. и силы тока, измерять их амплитуды на практике крайне неудобно. По этой причине ввели величины, названные
действующими значениями э. д. с, силы тока и напряжения.
Действующим значением силы переменного тока называют силу такого постоянного тока, при прохождении которого по той же цепи и за то же время выделяется такое же количество теплоты, как и при прохождении переменного тока.
При синусоидальном законе действующие значения тока и напряжения:
Приборы электромагнитной системы, применяемые для измерений напряжений и токов на переменном токе, регистрируют действующие значения. Соответственно градуируются и шкалы этих приборов.
Ток, протекающий через индуктивность L (рис. 7), меняется по закону синуса /" = Im sin(co/ + у;).
Кривые напряжения и тока в индуктивном сопротивлении
Напряжение на индуктивности определяется выражением
Индуктивное сопротивленияе
Индуктивное сопротивление выражают в омах, оно играет роль сопротивления в цепи переменного тока с катушкой индуктивности.
В идеальной индуктивности ток отстает от напряжения на 90°.
Если напряжение на емкости меняется по закону синуса
, то
Емкостное сопротивление.
Емкостное сопротивление выражается в омах, оно играет роль сопротивления в цепи переменного тока с конденсатором.
Кривые напряжения и тока в емкостном сопротивлении
В идеальной емкости ток опережает напряжение на 90°
Режим - состояние электрической цепи переменного тока описывается дифференциальными уравнениями, представляющими собой уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью,
например
:
Из курса высшей математики известно, что общее решение такого уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов:
где
-
ток принужденного режима при di/dt=
0
- ток свободного режима.
Свободные процессы исследуются с целью определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать. Принужденный и свободный режимы в сумме определяют процессы, которые называются
переходными
, т.е. осуществляется переход от одного установившегося режима к другому.
При установившемся режиме ток и напряжение сохраняют в течение длительного времени амплитудные значения.
В цепях постоянного тока токи и напряжения остаются неизменными, а в цепях переменного тока остаются неизменными кривые изменения токов и напряжений.
Мощность цепи переменного тока
В периодическом синусоидальном режиме
Используя известное тригонометрическое преобразование
и обозначив , получим
Среднее за период значение гармонической функции удвоенной частоты равно нулю.
Измерение мгновенного значения мощности переменного тока затруднено из-за сравнительно большой частоты колебаний (v = 50 Гц). Поэтому на практике принято пользоваться средней мощностью тока.
Средняя мощность - это отношение энергии, потребляемой за один период, к периоду:
где
- энергетическое значение коэффициента мощности,
Потребляемая на участке цепи с резистором средняя мощность получила название
активной мощности
. Она необратимо преобразуется в джоулеву теплоту и другие виды энергии. Мощность, потребляемую на участках цепи с емкостным и индуктивным сопротивлениями, называют
реактивной мощностью
.
При передаче электрической энергии по цепи переменного тока ее необратимые преобразования происходят только на тех участках цепи, которые содержат резисторы. Такие участки цепи называют
активной нагрузкой
. На активной нагрузке электроэнергия превращается в теплоту или механическую работу.
Участок цепи с индуктивностью или емкостью называют
реактивной нагрузкой
. На участках цепи, которые состоят из чистых емкостных или индуктивных сопротивлений, электроэнергия не потребляется. В цепи с реактивными нагрузками происходит только перекачка энергии от генератора к нагрузке и обратно с неизбежными потерями в подводящих проводах.
При заданных Р и U ток является функцией
cos
j
.
Потери мощности на сопротивлении
В цепи с резистором
j=0
.
Коэффициент мощности
cos
j
показывает, какая часть полной мощности, вырабатываемой генератором и передаваемой нагрузке, необратимо используется нагрузкой.
Он играет важную роль в электротехнике. В самом деле, если в цепи имеется значительный сдвиг по фазе между колебаниями тока и э. д. с, то коэффициент мощности мал и нагрузка потребляет от генератора малую активную мощность. Вместе с тем генератор должен вырабатывать полную мощность
S
. Эту же мощность должен отдавать генератору первичный двигатель. Таким образом, при низком коэффициенте мощности нагрузка потребляет лишь часть энергии, которую вырабатывает генератор. Оставшаяся часть энергии перекачивается периодически от генератора к потребителю и обратно и рассеивается в линиях электропередачи.
Максимально благоприятные условия передачи электроэнергии создаются в цепи, работающей в режиме резонанса. В самом деле, при приближении к резонансу амплитуда силы тока оказывается максимальной и коэффициент мощности стремится к единице. В этом случае активная мощность приближается к полной мощности, т. е. достигает максимума.
Повышение к. м. является важной народнохозяйственной задачей, от решения которой зависит эффективность использования вырабатываемой электроэнергии.
Уменьшение к. м. в промышленных цепях происходит в основном за счет содержащихся в них трансформаторов и асинхронных электродвигателей, имеющих значительные индуктивные сопротивления. Поэтому повысить к. м. при таких нагрузках можно путем подключения параллельно основной цепи компенсирующих конденсаторов, позволяющих приблизиться к режиму резонанса токов.
С целью повышения к. м. и экономии электроэнергии не следует допускать холостого хода (т. е. работы без нагрузки) трансформаторов и асинхронных электродвигателей, ибо в этом случае они представляют собой чисто индуктивные сопротивления и вызывают дополнительные потери мощности.
Коэффициент мощности (к. м.) ни в коем случае нельзя путать с коэффициентом полезного действия (к. п. д.). Так, например, при определенном соотношении емкости и индуктивности коэффициент мощности в данной цепи может оказаться равным единице. Коэффициент же полезного действия цепи всегда меньше единицы.
Активная мощность в цепи с идеальной катушкой индуктивности и конденсатором равна 0. Реактивная мощность определяется выражением :
Аналогично можно проделать для цепи с идеальным конденсатором:
В произвольной цепи переменного тока потребляемая одновременно активной и реактивной нагрузками суммарная мощность
Но так как , следовательно, | Подстанция |
Электрическая энергия почти во всех случаях производится, распределяется и потребляется в виде энергии переменного тока.
Широкое применение переменного тока в различных областях техники объясняется легкостью его получения и преобразования, а также простотой устройства генераторов и двигателей переменного тока, надежностью их работы и удобством эксплуатации.
Переменный ток, меняет свое значение и направление, определенное число раз в секунду. При переменном токе электроны движутся вдоль провода сначала в одном направлении, затем на мгновение останавливаются, далее движутся в обратную сторону, опять останавливаются и снова повторяют движение вперед и назад. То есть электроны совершают в проводе колебательное движение. Вследствие своей малой скорости движения (V эл = 10 -4 м/с = 0,1 мм/с) электроныпри таких колебаниях успевают сделать лишь небольшие перемещения вдоль провода.
Наиболее часто встречается, так называемый синусоидальный переменный ток. Изменение электрических величин (силы тока, напряжения, ЭДС) со временем показывает плавная кривая линия, называемая синусоидой).
Электрические цепи, в которых значения и направления ЭДС, напряжения и тока периодически изменяются со временем по синусоидальному закону, называются цепями синусоидального тока. Иногда их называют просто цепями переменного тока.
Для переменного тока была выбрана синусоидальная форма, так как она обеспечивает более экономичные производство, передачу, распределение и использование электрической энергии.
Кроме того, именно синусоидальная форма электрических величин остается неизменной во всех участках сколь угодно сложной электрической цепи, то есть индуктивные и емкостные элементы, входящие в состав электрических цепей не изменяют синусоидальной формы тока и напряжения.
Электрические цепи переменного тока по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Эти особенности определяются:
во-первых, тем, что в состав цепей переменного тока входят новые элементы: трансформаторы, конденсаторы, катушки индуктивности;
во-вторых, тем, что переменные токи и напряжения в этих элементах порождают переменные электрические и магнитные поля, которые в свою очередь приводят к возникновению явления самоиндукции, взаимной индукции и токов смещения.
Все это оказывает существенное влияние на протекающие электрической цепи процессы. Анализ процессов в цепях усложняется.
Для цепи переменного синусоидального тока большое значение имеет частота f . От частоты зависит влияние емкостей и индуктивностей на процессы в цепи.
Особенности цепей синусоидального тока обуславливают ряд новых, специфических для этих цепей явлений: сдвиг фаз, явление резонанса, появление реактивных мощностей.
Коэффициент мощности.
На современных промышленных предприятиях большинство потребителей электрической энергии переменного тока представляют собой активно-индуктивную нагрузку в виде асинхронных электродвигателей, силовых трансформаторов, сварочных трансформаторов, преобразователей и так далее. В такой нагрузке в результате протекания переменного тока индуктируются ЭДСсамоиндукции, обуславливающие сдвиг по фазе между током и напряжением. Этот сдвиг по фазе обычно увеличивается, аcos уменьшается при малой нагрузке. Например, еслиcos двигателей переменного тока при полной нагрузке составляет 0,75 - 0,8, то при малой нагрузке он уменьшается до 0,2 - 0,4.
Если мощность, потребляемая всеми приемниками в данных цепях, является вполне определенной, то при неизменном напряжении на зажимах приемника их ток: I = P / (U cos )
С уменьшением cos ток нагрузки электростанций и подстанций будет увеличиваться при одной и той же отдаваемой мощности.
Вместе с тем электрические генераторы, трансформаторы и линии электропередачи рассчитываются на определенное напряжение и ток. Увеличение тока потребителя при снижении cos не должно превышать определенных пределов, так как питающие их генераторы рассчитываются на определенную номинальную мощностьS ном = U ном I ном , вследствие чего они не должны оказаться перегруженными. Для того чтобы ток генератора не превышал номинального значения при сниженииcos потребителя, необходимо снижать его активную мощность. Таким образом, понижениеcos потребителей вызывает неполное использование мощности синхронных генераторов, трансформаторов и линий электропередачи. Они бесполезно загружаются за счет индуктивного реактивного тока.
cos , характеризующий использование установленной мощности, часто называют коэффициентом мощности.
Коэффициентом мощности определяют как отношение активной мощности к полной:
cos = P/S.
Коэффициент мощности (2.25)показывает, какая часть электрической энергии необратимо преобразуется в другие виды энергии и, в частности, используется на выполнение полезной работы. Нормальным считаетсяcos 0,85 - 0,9. При низком коэффициенте мощности на предприятия, потребляющие электроэнергию, накладывается штраф, при высоком - предприятия премируются.
Для улучшения коэффициента мощности проводится ряд мероприятий:
2.заменяются двигатели переменного тока, нагруженные относительно мало, двигателями меньшей мощности;
2.включаются параллельно приемникам конденсаторы.
Федеральное агентство по образованию РФ
Курчатовский филиал
Курского государственного политехнического колледжа
по дисциплине: "Электротехника"
на тему: "Электрические цепи переменного тока"
Работу выполнил:
Асеев Евгений Сергеевич
студент 2 курса специальности
"Атомные станции и установки"
Проверил: Горлов А.Н.
Курчатов
Введение
Принцип получения переменной ЭДС. Действующее значение тока и напряжения
Метод векторных диаграмм
Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью
Цепь переменного тока с разной нагрузкой
Последовательная цепь, содержащая активное сопротивление, индуктивность и емкость
Резонанс напряжений и токов
Проводимость и расчет электрических цепей
Введение
До конца 19 века использовались только источники постоянного тока – химические элементы и генераторы. Это ограничивало возможности передачи электрической энергии на большие расстояния. Как известно, для уменьшения потерь в линиях электропередачи необходимо использовать очень высокое напряжение. Однако получить достаточно высокое напряжение от генератора постоянного тока практически невозможно. Проблема передачи электрической энергии на большие расстояния была решена только при использовании переменного тока и трансформаторов.
1. Принцип получения переменной ЭДС
Переменный ток имеет ряд преимуществ по сравнению с постоянным: генератор переменного тока значительно проще и дешевле генератора постоянного тока; переменный ток можно трансформировать; переменный ток легко преобразуется в постоянный; двигатели переменного тока значительно проще и дешевле, чем двигатели постоянного тока.
В принципе переменным током можно назвать всякий ток, который с течением времени изменяет свою величину, но в технике переменным током называют такой ток, периодически изменяет и величины и направление. Причем среднее значение силы такого тока за период Т равно нулю. Периодическим переменный ток называется потому, что через промежутки времени Т, характеризующие его физические величины принимают одинаковые значения.
В электротехнике наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, т.е. ток, величина которого изменяется по закону синуса (или косинуса), обладающий рядом достоинств по сравнению с другими периодическими токами.
Переменный ток промышленной частоты получают на электростанциях с помощью генераторов переменного тока (трехфазных синхронных генераторов). Это довольно сложные электрические машины, рассмотрим только физические основы их действия, т.е. идею получения переменного тока.
Пусть в однородном магнитном поле постоянного магнита равномерно вращается с угловой скоростью ω рамка площадью S .(рис. 1).
Магнитный поток через рамку будет равен:
Ф=BS cosα (1.1)
где α – угол между нормалью к рамке n и вектором магнитной индукции B. Поскольку при равномерном вращении рамки ω= α/t, то угол α будет изменяться по закону α= ω t и формула(1.1) примет вид:
Ф=BScosωt (1.2)
Поскольку при вращении рамки пересекающий ее магнитный поток все время меняется, то по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться ЭДС индукции Е:
Е= -dФ/dt =BSωsinωt =E0sinωt (1.3)
где Е0 = BSω – амплитуда синусоидальной ЭДС. Таким образом, в рамке возникнет синусоидальная ЭДС, а если замкнуть рамку на нагрузку, то в цепи потечет синусоидальный ток.
Величину ωt = 2πt/Т = 2πft, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими функциями. Фаза определяет значение ЭДС в любой момент времени t. Фаза измеряется в градусах или радианах.
Время Т одного полного изменения ЭДС (это время одного оборота рамки) называют периодом ЭДС. Изменение ЭДС со временем может быть изображено на временной диаграмме (рис. 2).
Величину, обратную периоду, называют частотой f = 1/T. Если период измеряется в секундах, то частота переменного тока измеряется в Герцах. В большинстве стран, включая Россию, промышленная частота переменного тока составляет 50Гц (в США и Японии – 60 Гц).
Величина промышленной частоты переменного тока обусловлена технико-экономическими соображениями. Если она слишком низка, то увеличиваются габариты электрических машин и, следовательно, расход материалов на их изготовление; заметным становится мигание света в электрических лампочках. При слишком высоких частотах увеличиваются потери энергии в сердечниках электрических машин и трансформаторах. Поэтому наиболее оптимальными оказались частоты 50 – 60 Гц. Однако, в некоторых случаях используются переменные токи как с более высокой, так и более низкой частотой. Например, в самолетах применяется частота 400 Гц. На этой частоте можно значительно уменьшить габариты и вес трансформаторов и электромоторов, что для авиации более существенно, чем увеличение потерь в сердечниках. На железных дорогах используют переменный ток с частотой 25 Гц и даже 16,66 Гц.
Действующие значения тока и напряжения
Для описания характеристик переменного тока необходимо избрать определённые физические величины. Мгновенные и амплитудные значения для этих целей неудобны, а средние значения за период равны нулю. Поэтому вводят понятие действующих значений тока и напряжения. Они основаны на тепловом действии тока, не зависящем от его направления.
Действующими значениями тока и напряжения называют соответствующие параметры такого постоянного тока, при котором в данном проводнике за данный промежуток времени выделяется столько же теплоты, что и при переменном токе. Найдем соотношение между действующими и амплитудными значениями.
В активном сопротивлении R при постоянном токе I за период постоянного тока T по закону Джоуля-Ленца выделится следующее количество теплоты:
При переменном токе i в том же сопротивлении R за бесконечно малый промежуток времени dt выделится следующее количество теплоты:
dQ = i Rdt (1.5)
где мгновенное значение тока i определяется формулой:
i = I0sinωt (1.6)
Тогда теплота, выделяемая переменным током за период Т равна:
Интеграл (1.7) вычисляется следующим образом:
Второй интеграл равен нулю, поскольку это интеграл от периодической функции за один период. Приравняв, согласно определению (1.4) и (1.8), получим:
Таким образом, действующее значение переменного тока в √2 раз меньше его амплитудного значения. Аналогично вычисляются действующие значения напряжения и ЭДС:
U = U0/√2; E = E0/√2 (1.10)
Действующие значения обозначаются прописными латинскими буквами без индексов.
2. Метод векторных диаграмм
Метод векторных диаграмм – то есть изображение величин, характеризующих переменный ток векторами, а не тригонометрическими функциями, чрезвычайно удобен.
Переменный ток, в отличие от постоянного, характеризуется двумя скалярными величинами – амплитудой и фазой. Поэтому для математического описания переменного тока необходим математический объект, также характеризуемый двумя скалярными величинами. Существуют два таких математических объектов – это вектор на плоскости и комплексное число. В теории электрических цепей и те и другие используются для описания переменных токов.
При описании электрической цепи переменного тока с помощью векторных диаграмм каждому току и напряжению сопоставляется вектор на плоскости в полярных координатах, длина которого равна амплитуде тока или напряжения, а полярный угол равен соответствующей фазе. Поскольку фаза переменного тока зависит от времени, то считается, что все векторы вращаются против часовой стрелки с частотой переменного тока. Векторная диаграмма строится для фиксированного момента времени.
Более подробно построение и использование векторных диаграмм будет изложено ниже на примерах конкретных цепей.
3. Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью
Рассмотрим цепь (рис. 3), в котором к активному сопротивлению (резистору) приложено синусоидальное напряжение:
U (t) = U0sin ωt (1.11)
Тогда по закону Ома ток в цепи будет равен:
I (t) = U (t)/R = U0sin ωt/R = I0 sin ωt (1.12)
Мы видим, что ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма для этой цепи приведена на рисунке 4:
Выясним, как изменяется со временем мощность в цепи переменного тока с резистором. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений тока и напряжения:
p (t) = i(t)u(t) = I0 U0 sin ωt = I0 U0(1- cos2 ωt)/2 (1.13)
Из этой формулы мы видим, что мгновенная мощность всегда положительна и пульсирует с удвоенной частотой (рис. 5):
Это означает, что электрическая энергия необратимо превращается в теплоту независимо от направления тока в цепи.
Вычислим среднее значение мощности за период:
Pср = 1/T ∫ p(t)dt = I0U0/2T ∫ dt − I0U0/2T ∫ cos2ωt dt = (I0U0/2T) ∙T = IU = I R
поскольку второй интеграл равен нулю как интеграл от периодической функции за период.
Мы видим, что в цепи с резистором вся электрическая энергия необратимо превращается в тепловую энергию. Те элементы цепи, на которых происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии (не только в тепловую), называются активными сопротивлениями. Поэтому резистор представляет собой активное сопротивление.
Рассмотрим цепь (рис. 6), в котором к катушке индуктивности L, не обладающей активным сопротивлением (R=0), приложено синусоидальное напряжение (1.11):
Протекающий через катушку переменный ток создает в ней ЭДС самоиндукции eL. Тогда в соответствии со вторым правилом Кирхгофа можно записать:
U + eL = 0 (1.15)
Согласно закону Фарадея, ЭДС самоиндукции равна:
eL = −LdI/dt (1.16)
Подставив (1.16) в (1.15), имеем:
dI/dt = − eL/L = U/L = U0 sin ωt/L (1.17)
Интегрируя это уравнение, получим:
I =− U0cos ωt/ω L + const = U0sin (ωt − π/2)/ ωL+ const (1.18)
где const – постоянная интегрирования, которая говорит о том, что в цепи может быть и постоянный ток. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. Окончательно имеем:
I = I0 sin (ωt − π/2) (1.19)
где I0 = U0/ ωL. Деля обе части на √2, получим:
I = U/ ωL= U/ XL (1.20)
Соотношение (1.20) представляет собой закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью, а величина XL= ωL называется индуктивным сопротивлением.
Из формулы (1.19) мы видим, что в рассмотренной цепи ток отстает по фазе от напряжения на π/2. Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рисунке 7.
Вычислим мощность, потребляемую цепью с чисто индуктивным сопротивлением.
Мгновенная мощность равна:
p (t)= I0 U0 sin ωt(ωt − π/2)= − I0 U0 sin2 ωt/2 (1.21)
Мы видим, она изменяется по закону синуса с удвоенной частотой (рис. 8).
Положительные значения мощности соответствуют потреблению энергии катушкой, а отрицательные - возврату запасенной энергии обратно источнику.
Средняя за период мощность равна:
Pср = 1/T ∫ p(t)dt = (− I0 U0 /2T) ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.22)
Мы видим, что цепь с индуктивностью мощности не потребляет – это чисто реактивная нагрузка.
5. Цепь переменного тока с разной нагрузкой
Цепь переменного тока с активно-индуктивной нагрузкой
Рассмотрим электрическую цепь (рис. 9), в котором через катушку индуктивности L, обладающую активным сопротивлением R, протекает переменный ток:
I = I0 sin ωt (1.23)
Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности и на резисторе:
U = UL+UR (1.24)
Напряжение на резисторе, как показано выше, совпадает по фазе с током:
UR = U0R sin ωt (1.25)
а напряжение на индуктивности равно ЭДС самоиндукции со знаком “минус” (по второму правилу Кирхгофа):
UL = L(dI/dt)= I0 ωLcos ωt = U0Lsin(ωt + π/2) (1.26)
где U0L= I0 ωL (1.27)
Напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Переходя к формуле (1.27) к действующим значениям переменного тока (I = I0/√2; U= U0/√2), получим:
I = UL/XL (1.28)
Это закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью (т.е. не обладающей активным сопротивлением), а величина XL= ωL называется индуктивным сопротивлением. Построив векторы I, UR и UL и воспользовавшись формулой (1.24), мы найдем вектор U.
U= √ UR + UL = √ I R + I (ωL) = I√ R + (ωL) = IZ (1.29)
где величина
Z = √ R + (ωL) (1.30)
Сдвиг по фазе φ между током и напряжением также определяется из векторной диаграммы:
tg φ = UL/ UR = ωL/ R (1.31)
В данной цепи угол сдвига фаз между током и напряжением зависит от значений R и L и изменяется в пределах от 0 до π/2.
Теперь рассмотрим как изменяется со временем мощность в цепи с активно-индуктивной нагрузкой. Мгновенные значения тока и напряжения можно представить в виде:
U(t) = U0 sin ωt (1.32)
I(t) = I0 sin(ωt − φ)
p(t)= I(t) U(t) = I0 U0 sin ωt sin(ωt − φ)=(I0 U0/2) = =(I0 U0/2)(1− cos2ωt) cosφ − (I0 U0/2) sin2ωt sin φ (1.33)
Мгновенное значение мощности имеет две составляющие: первое слагаемое - активная, и второе - реактивная (индуктивная). Поэтому средняя за период мощность не равна нулю:
Pср = 1/T ∫ pdt = (I0 U0/2T) cosφ ∫dt − (I0 U0/2T) cosφ ∫ cos2ωt dt −
−(I0 U0/2T) sin φ ∫ sin2ωt dt = (I0 U0/2) cosφ (1.34)
Цепь переменного тока с емкостью
Рассмотрим электрическую цепь, в которой переменное напряжение (1.11) приложено к емкости С (рис. 11). Мгновенное значение тока в цепи с емкостью равно скорости заряда на обкладках конденсатора:
I = dq/dt (1.35)
но, т.к. q = CU, то
I = C (dU/dt) = ωCU0 cos ωt = I0 sin (ωt + π/2) (1.36)
ωCU0 = I0 (1.37)
В этой цепи ток опережает напряжение на π/2. Переходя в формуле (1.37) к действующим значениям переменного тока (I = I0/√2; U= U0/√2), получим:
I0 = U/Xc (1.38)
Это закон Ома для цепи переменного тока с емкостью, а величина
Xc= 1/ωC называется емкостным сопротивлением. Векторная диаграмма для этой цепи показана на рис. 12.
Найдем мгновенную и среднюю мощность в цепи, содержащей емкость. Мгновенная мощность равна:
p(t)= i(t) u(t) = I0U0 sin (ωt + π/2) sin ωt = IUsin2 ωt (1.39)
Мгновенная мощность изменяется с удвоенной частотой (рис. 13). При этом положительные значения мощности соответствуют заряду конденсатора, а отрицательные - его разряду и возврату запасенной энергии в источник. Средняя за период мощность здесь равна нулю
Pср = 1/T ∫ p(t)dt = IU/T ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.40)
т.к. в цепи с конденсатором активная мощность не потребляется, а проходит обмен электрической энергией между конденсатором и источником.
Цепь переменного тока с активно-емкостной нагрузкой
Реальная цепь переменного тока с емкостью всегда содержит активное сопротивление - сопротивление проводов, активные потери в конденсаторе и т.п. Рассмотрим реальную цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора С и активного сопротивления R (рис. 14). В этой цепи протекает ток I = I0 sin ωt .
В соответствии со вторым правилом Кирхгофа, сумма напряжений на резисторе и на емкости равна приложенному напряжению:
U = UR + UC (1.41)
Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током:
UR = U0R sin ωt (1.42)
а напряжение на конденсаторе отстает от тока:
UC = U0C sin (ωt − π/2) (1.43)
Построив векторы I,UR и UC и воспользовавшись формулой (1.41), найдем вектор U. Векторная диаграмма для этой цепи показана на рисунке 15.
Как видно из векторной диаграммы, модуль вектора U равен
U =√ UR + UC =√ I R + I (1/ωC) = I √ R + (1/ωC) = IZ1 (1.44)
где величина
Z1=√ R + (1/ωC) (1.45)
называется полным сопротивлением цепи.
Сдвиг по фазе φ между током и напряжением в данной цепи также определяется из векторной диаграммы:
tg φ = UC/ UR = (1/ωC)/ R (1.46)
В рассмотренной цепи угол сдвига фаз между током и напряжением зависит от значений R и C и изменяется в пределах от 0 до π/2.
Рассмотрим теперь, как изменяется со временем мощность в цепи с активно – емкостной нагрузкой. Мгновенные значения тока и напряжения можно представить в виде:
U (t) = U0 sin ωt
I (t) = I0 sin (ωt + φ) (1.47)
Тогда мгновенное значение мощности равно:
p(t)= I(t) U(t) = I0 U0 sin ωt sin(ωt + φ)=(I0 U0/2) = =(I0 U0/2)(1− cos2ωt) cosφ + (I0 U0/2) sin2ωt sin φ (1.48)
Мгновенное значение мощности имеет две составляющие: первое слагаемое - активная, а второе - реактивная (емкостная). Поэтому средняя за период мощность не равна нулю:
Pср =1/T ∫ pdt = I0U0/2T cosφ ∫ dt − I0U0/2T cosφ ∫ cos2 ωtdt + I0U0/2T ∙
sin φ ∫ sin2ωt dt = I0U0/2T cosφ (1.49)
и является активной мощностью. Соответствующая этой мощности электрическая энергия превращается в активном сопротивлении R в теплоту.
6. Последовательная цепь, содержащая активное сопротивление, индуктивность и емкость
Теперь рассмотрим цепь переменного тока, содержащую индуктивность, емкость и резистор, включенные последовательно (рис. 16).
Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности, на емкости и на резисторе:
U = UL + UC + UR (1.50)
Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, напряжение на катушке опережает ток по фазе на π/2, а напряжение на емкости отстает от тока по фазе на π/2. Можно записать эти напряжения в следующем виде:
UR = U0R sin ωt = I0R sin ωt
UL = U0Lsin (ωt + π/2) = I0 ωL (ωt + π/2) (1.51)
UC = U0C sin (ωt − π/2) = (I0/ωC) sin (ωt − π/2)
Поскольку нам известны амплитуды и фазы этих векторов, мы можем построить векторную диаграмму и найти вектор U (рис. 17)
Из полученной векторной диаграммы мы можем найти модуль вектора приложенного к цепи напряжения U и сдвиг по фазе φ между током и напряжением:
U = √ UR + (UL − UC) = I √ R +(ωL− 1/ωC) = IZ (1.52)
Z = √ R +(ωL− 1/ωC) (1.53)
называется полным сопротивлением цепи. Из диаграммы видно, что сдвиг по фазе между током и напряжением определяется уравнением:
tg φ =(UL − UC)/ UR = (ωL− 1/ωC)/R (1.54)
В результате построения диаграммы мы получили треугольник напряжений, гипотенуза которого равна приложенному напряжению U. При этом разность фаз между током и напряжением определяется соотношением векторов UL, UC и UR. При UL > UC (рис. 17) угол φ положителен и нагрузка имеет индуктивный характер. При UL < UC угол φ отрицателен и нагрузка имеет емкостный характер (рис. 18, а). А при
UL = UC угол φ равен нулю и нагрузка является чисто активной (рис. 18, б).
Разделив стороны треугольника напряжений (рис. 17) на значение тока в цепи, получим треугольник сопротивлений (рис. 19, а), в котором R ─ активное сопротивление, Z ─ полное сопротивление, а x = xL−xC ─ реактивное сопротивление. Кроме того,
R = Zcosφ; x = Zsinφ (1.55)
Умножив стороны треугольника напряжений на значение тока в цепи, получим треугольник мощностей (рис. 19, б). Здесь S ─ полная мощность, Q ─ реактивная мощность и P ─ активная мощность. Из треугольника мощностей следует:
S = IU = √P + Q ; Q = Ssin φ ; P = S cos φ = IU cos φ (1.56)
Реактивная мощность Q всегда связана с обменом электрической энергией между источником и потребителем. Ее измеряют в вольт – амперах реактивных (Вар).
Полная мощность S содержит в себе как активную, так и реактивную составляющие - это мощность, которая потребляется от источника электроэнергии. При P = 0 вся полная мощность становится реактивной, а при Q = 0 ─ активной. Следовательно, составляющие полной мощности определяются характером нагрузки. Полная мощность измеряется в вольт – амперах (ВА). Эта величина указывается на табличках приборов переменного тока.
Активная мощность P связана с той электрической энергией, которая может быть преобразована в другие виды энергии - теплоту, механическую работу и т.д. Она измеряется в Ваттах (Вт). Активная мощность зависит от тока, напряжения и cos φ. При увеличении угла φ уменьшается cos φ и мощность P, а при уменьшении угла φ активная мощность P возрастает. Таким образом, cos φ показывает, какая часть полной мощности теоретически может быть преобразована в другие виды энергии. cos φ называют коэффициентом мощности.
Для более рационального использования мощности переменного тока, вырабатываемого источниками электрической энергии, стараться сделать нагрузку такой, чтобы cos φ в цепи был близок к единице. На практике, в масштабах предприятия добиться этого довольно трудно и хорошим показателем является cos φ =0,9 - 0,95.
При низких значениях cos φ возникают дополнительные потери на нагревание проводника.
Предположим, что одинаковые активные мощности передаются при одинаковом напряжении к двум равным нагрузкам с cos φ0 =1 и cos φ1 <1. Тогда
I0U cos φ0 = I1U cos φ1 (1.57)
I1 = I0 / cos φ1 (1.58)
Мощность, которая расходуется на нагревание проводов равна
P1 = I1 R = I0 R / cos φ1 (1.59)
то есть потери на нагревание проводов обратно пропорциональны квадрату коэффициента мощности. Так и должно быть, потому что реактивная мощность создает в проводах дополнительный реактивный ток, а потери на нагревание проводов пропорциональны квадрату тока. Поэтому повышение cos φ имеет большое практическое значение.
7. Резонанс напряжений и токов
Резонанс напряжений
Когда напряжения на индуктивности и емкости UL и UC , взаимно сдвинутые по фазе на 180 , равны по величине, то они полностью компенсируют друг друга (рис. 18, б). Напряжение, приложенное к цепи, равно напряжению на активном сопротивлении, а ток в цепи совпадает по фазе с напряжением. Этот случай называется резонансом напряжений.
Условием резонанса напряжений является равенство напряжений на индуктивности и емкости или равенство индуктивного и емкостного сопротивлений цепи:
xL = xC или ωL = 1/ωC (1.60)
При резонансе напряжений ток в цепи равен
I = U/√R + 0 = U/R (1.61)
то есть, цепь в данном случае имеет наименьшее возможное сопротивление, как будто в нее включено только активное сопротивление R. Ток в цепи при этом достигает максимального значения.
При резонансе напряжения на реактивных сопротивлениях xL и xC могут заметно превышать приложенное к цепи напряжение. Если мы возьмем отношение приложенного напряжения к напряжению на индуктивности (или емкости), то получим
U/ UL = IZ/I xL = Z/ xL или UL = U xL /R (1.62)
то есть напряжение на индуктивности будет больше приложенного напряжения в xL /R раз. Это значит, что при резонансе напряжений на отдельных участках цепи могут возникнуть напряжения, опасные для изоляции приборов, включенных в данную цепь. Векторная диаграмма для случая резонанса напряжений показана на рис. 18 б.
Если в последовательной цепи, содержащей активное сопротивление, индуктивность и емкость изменять величину одного из элементов цепи (например, емкости) при неизменном приложенном напряжении, то будут изменяться многие величины, характеризующих ток в цепи. Кривые, показывающие как меняются ток, напряжение, называются резонансными. Резонансные кривые при изменении емкости показаны на рисунке 20.
Резонанс токов
В отличие от последовательных цепей переменного тока, где ток, протекающий по всем элементам цепи одинаков, в параллельных цепях одинаковым будет напряжение, приложенное к параллельно включенным ветвям цепи.
Рассмотрим параллельное включение емкости и ветви, состоящей из индуктивности и активного сопротивления (рис. 21).
Обе ветви находятся под одним и тем же приложенным напряжением U. Построим векторную диаграмму для этой цепи. В качестве основного вектора выберем вектор приложенного напряжения U (рис. 22).
Затем найдем длину вектора I1 из соотношения
I1 = U/z1 = U/√R1 + xL (1.63)
и отложим этот вектор по отношению к вектору U под углом φ1 , который определяется по формуле
tg φ1 = xL/ R1 (1.64)
Полученный таким образом вектор тока I1 разложим на две составляющие: активную Iа1 = I1 cos φ1 и реактивную Ip1 = I1 sin φ1 (рис. 22).
Величину вектора тока I2 находим из соотношения
I2 = U/ xC = U/(1/ωC) = ωCU (1.65)
и откладываем этот вектор под углом 90 против часовой стрелки относительно вектора приложенного напряжения U.
Общий ток I равен геометрической сумме токов I1 и I2 или геометрической сумме реактивного тока Ip1 − I2 =IL − IC и активного тока Iа1. длина вектора I равна
I = √(IL − IC) +(Iа1) (1.66)
Сдвиг по фазе между общим током I и приложенным напряжением U можно определить из соотношения
tgφ =(IL − IC)/ Iа1 (1.67)
Из векторной диаграммы видно, что длина и положение вектора общего тока зависят от соотношения между реактивными токами IL и IC. В частности, при IL > IC общий ток отстает по фазе от приложенного напряжения, при IL < IC ─ опережает его, а при IL = IC ─ совпадает с ним по фазе. Последний случай (IL = IC) называется резонансом токов. При резонансе токов общий ток равен активной составляющей тока в цепи, то есть происходящие в цепи процессы таковы, как будто в ней содержится только активное сопротивление (в этом случае φ = 0 и cos φ = 1). При резонансе общий ток в цепи принимает минимальное значение и становится чисто активным, тогда как реактивные токи в ветвях не равны нулю и противоположны по фазе.
Если в параллельной цепи, изображенной на рисунке 21, изменять величину емкости при неизменном приложенном напряжении, то будут изменяться многие величины, характеризующие ток в цепи. Кривые, показывающие как изменяются ток, напряжения на участках цепи и сдвиг по фазе между током и напряжением, называются резонансными.
Федеральное агентство по образованию РФ
Курчатовский филиал
Курского государственного политехнического колледжа
по дисциплине: "Электротехника"
на тему: "Электрические цепи переменного тока"
Работу выполнил:
Асеев Евгений Сергеевич
студент 2 курса специальности
"Атомные станции и установки"
Проверил: Горлов А.Н.
Курчатов
Введение
Принцип получения переменной ЭДС. Действующее значение тока и напряжения
Метод векторных диаграмм
Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью
Цепь переменного тока с разной нагрузкой
Последовательная цепь, содержащая активное сопротивление, индуктивность и емкость
Резонанс напряжений и токов
Проводимость и расчет электрических цепей
Введение
До конца 19 века использовались только источники постоянного тока – химические элементы и генераторы. Это ограничивало возможности передачи электрической энергии на большие расстояния. Как известно, для уменьшения потерь в линиях электропередачи необходимо использовать очень высокое напряжение. Однако получить достаточно высокое напряжение от генератора постоянного тока практически невозможно. Проблема передачи электрической энергии на большие расстояния была решена только при использовании переменного тока и трансформаторов.
1 . Принцип получения переменной ЭДС
Переменный ток имеет ряд преимуществ по сравнению с постоянным: генератор переменного тока значительно проще и дешевле генератора постоянного тока; переменный ток можно трансформировать; переменный ток легко преобразуется в постоянный; двигатели переменного тока значительно проще и дешевле, чем двигатели постоянного тока.
В принципе переменным током можно назвать всякий ток, который с течением времени изменяет свою величину, но в технике переменным током называют такой ток, периодически изменяет и величины и направление. Причем среднее значение силы такого тока за период Т равно нулю. Периодическим переменный ток называется потому, что через промежутки времени Т, характеризующие его физические величины принимают одинаковые значения.
В электротехнике наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, т.е. ток, величина которого изменяется по закону синуса (или косинуса), обладающий рядом достоинств по сравнению с другими периодическими токами.
Переменный ток промышленной частоты получают на электростанциях с помощью генераторов переменного тока (трехфазных синхронных генераторов). Это довольно сложные электрические машины, рассмотрим только физические основы их действия, т.е. идею получения переменного тока.
Пусть в однородном магнитном поле постоянного магнита равномерно вращается с угловой скоростью ω рамка площадью S .(рис. 1).
Магнитный поток через рамку будет равен:
Ф=BS cosα (1.1)
где α – угол между нормалью к рамке n и вектором магнитной индукции B. Поскольку при равномерном вращении рамки ω= α/t, то угол α будет изменяться по закону α= ω t и формула(1.1) примет вид:
Ф=BScosωt (1.2)
Поскольку при вращении рамки пересекающий ее магнитный поток все время меняется, то по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться ЭДС индукции Е:
Е= -dФ/dt =BSωsinωt =E0sinωt (1.3)
где Е0 = BSω – амплитуда синусоидальной ЭДС. Таким образом, в рамке возникнет синусоидальная ЭДС, а если замкнуть рамку на нагрузку, то в цепи потечет синусоидальный ток.
Величину ωt = 2πt/Т = 2πft, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими функциями. Фаза определяет значение ЭДС в любой момент времени t. Фаза измеряется в градусах или радианах.
Время Т одного полного изменения ЭДС (это время одного оборота рамки) называют периодом ЭДС. Изменение ЭДС со временем может быть изображено на временной диаграмме (рис. 2).
Величину, обратную периоду, называют частотой f = 1/T. Если период измеряется в секундах, то частота переменного тока измеряется в Герцах. В большинстве стран, включая Россию, промышленная частота переменного тока составляет 50Гц (в США и Японии – 60 Гц).
Величина промышленной частоты переменного тока обусловлена технико-экономическими соображениями. Если она слишком низка, то увеличиваются габариты электрических машин и, следовательно, расход материалов на их изготовление; заметным становится мигание света в электрических лампочках. При слишком высоких частотах увеличиваются потери энергии в сердечниках электрических машин и трансформаторах. Поэтому наиболее оптимальными оказались частоты 50 – 60 Гц. Однако, в некоторых случаях используются переменные токи как с более высокой, так и более низкой частотой. Например, в самолетах применяется частота 400 Гц. На этой частоте можно значительно уменьшить габариты и вес трансформаторов и электромоторов, что для авиации более существенно, чем увеличение потерь в сердечниках. На железных дорогах используют переменный ток с частотой 25 Гц и даже 16,66 Гц.
Действующие значения тока и напряжения
Для описания характеристик переменного тока необходимо избрать определённые физические величины. Мгновенные и амплитудные значения для этих целей неудобны, а средние значения за период равны нулю. Поэтому вводят понятие действующих значений тока и напряжения. Они основаны на тепловом действии тока, не зависящем от его направления.
Действующими значениями тока и напряжения называют соответствующие параметры такого постоянного тока, при котором в данном проводнике за данный промежуток времени выделяется столько же теплоты, что и при переменном токе. Найдем соотношение между действующими и амплитудными значениями.
В активном сопротивлении R при постоянном токе I за период постоянного тока T по закону Джоуля-Ленца выделится следующее количество теплоты:
При переменном токе i в том же сопротивлении R за бесконечно малый промежуток времени dt выделится следующее количество теплоты:
dQ = i Rdt (1.5)
где мгновенное значение тока i определяется формулой:
i = I0sinωt (1.6)
Тогда теплота, выделяемая переменным током за период Т равна:
Интеграл (1.7) вычисляется следующим образом:
Второй интеграл равен нулю, поскольку это интеграл от периодической функции за один период. Приравняв, согласно определению (1.4) и (1.8), получим:
Таким образом, действующее значение переменного тока в √2 раз меньше его амплитудного значения. Аналогично вычисляются действующие значения напряжения и ЭДС:
U = U0/√2; E = E0/√2 (1.10)
Действующие значения обозначаются прописными латинскими буквами без индексов.
2. Метод векторных диаграмм
Метод векторных диаграмм – то есть изображение величин, характеризующих переменный ток векторами, а не тригонометрическими функциями, чрезвычайно удобен.
Переменный ток, в отличие от постоянного, характеризуется двумя скалярными величинами – амплитудой и фазой. Поэтому для математического описания переменного тока необходим математический объект, также характеризуемый двумя скалярными величинами. Существуют два таких математических объектов – это вектор на плоскости и комплексное число. В теории электрических цепей и те и другие используются для описания переменных токов.
При описании электрической цепи переменного тока с помощью векторных диаграмм каждому току и напряжению сопоставляется вектор на плоскости в полярных координатах, длина которого равна амплитуде тока или напряжения, а полярный угол равен соответствующей фазе. Поскольку фаза переменного тока зависит от времени, то считается, что все векторы вращаются против часовой стрелки с частотой переменного тока. Векторная диаграмма строится для фиксированного момента времени.
Более подробно построение и использование векторных диаграмм будет изложено ниже на примерах конкретных цепей.
3. Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью
Рассмотрим цепь (рис. 3), в котором к активному сопротивлению (резистору) приложено синусоидальное напряжение:
U (t) = U0sin ωt (1.11)
Тогда по закону Ома ток в цепи будет равен:
I (t) = U (t)/R = U0sin ωt/R = I0 sin ωt (1.12)
Мы видим, что ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма для этой цепи приведена на рисунке 4:
Выясним, как изменяется со временем мощность в цепи переменного тока с резистором. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений тока и напряжения:
p (t) = i(t)u(t) = I0 U0 sin ωt = I0 U0(1- cos2 ωt)/2 (1.13)
Из этой формулы мы видим, что мгновенная мощность всегда положительна и пульсирует с удвоенной частотой (рис. 5):
Это означает, что электрическая энергия необратимо превращается в теплоту независимо от направления тока в цепи.
Вычислим среднее значение мощности за период:
Pср = 1/T ∫ p(t)dt = I0U0/2T ∫ dt − I0U0/2T ∫ cos2ωt dt = (I0U0/2T) ∙T = IU = I R
поскольку второй интеграл равен нулю как интеграл от периодической функции за период.
Мы видим, что в цепи с резистором вся электрическая энергия необратимо превращается в тепловую энергию. Те элементы цепи, на которых происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии (не только в тепловую), называются активными сопротивлениями. Поэтому резистор представляет собой активное сопротивление.
Рассмотрим цепь (рис. 6), в котором к катушке индуктивности L, не обладающей активным сопротивлением (R=0), приложено синусоидальное напряжение (1.11):
Протекающий через катушку переменный ток создает в ней ЭДС самоиндукции eL. Тогда в соответствии со вторым правилом Кирхгофа можно записать:
U + eL = 0 (1.15)
Согласно закону Фарадея, ЭДС самоиндукции равна:
eL = −LdI/dt (1.16)
Подставив (1.16) в (1.15), имеем:
dI/dt = − eL/L = U/L = U0 sin ωt/L (1.17)
Интегрируя это уравнение, получим:
I =− U0cos ωt/ω L + const = U0sin (ωt − π/2)/ ωL+ const (1.18)
где const – постоянная интегрирования, которая говорит о том, что в цепи может быть и постоянный ток. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. Окончательно имеем:
I = I0 sin (ωt − π/2) (1.19)
где I0 = U0/ ωL. Деля обе части на √2, получим:
I = U/ ωL= U/ XL (1.20)
Соотношение (1.20) представляет собой закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью, а величина XL= ωL называется индуктивным сопротивлением.
Из формулы (1.19) мы видим, что в рассмотренной цепи ток отстает по фазе от напряжения на π/2. Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рисунке 7.
Вычислим мощность, потребляемую цепью с чисто индуктивным сопротивлением.
Мгновенная мощность равна:
p (t)= I0 U0 sin ωt(ωt − π/2)= − I0 U0 sin2 ωt/2 (1.21)
Мы видим, она изменяется по закону синуса с удвоенной частотой (рис. 8).
Положительные значения мощности соответствуют потреблению энергии катушкой, а отрицательные - возврату запасенной энергии обратно источнику.
Средняя за период мощность равна:
Pср = 1/T ∫ p(t)dt = (− I0 U0 /2T) ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.22)
Мы видим, что цепь с индуктивностью мощности не потребляет – это чисто реактивная нагрузка.
5. Цепь пере менного тока с разной нагрузкой
