Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Дискриминант позволяет решать любые квадратные уравнения с помощью общей формулы, которая имеет следующий вид:

Формула дискриминанта зависит от степени многочлена. Вышеописанная формула подойдет для решения квадратных уравнений следующего вида:

Дискриминант имеет следующие свойства, которые необходимо знать:

* "D" равен 0, когда многочлен имеет кратные корни (равные корни);

* "D" является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.

Допустим, нам дано квадратное уравнение следующего вида:

1 уравнение

По формуле имеем:

Поскольку \, то уравнение имеет 2 корня. Определим их:

Где можно решить уравнение через дискриминант онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте.А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Квадратные уравнения часто появляются во время решения различных задач физики и математики. В данной статье мы рассмотрим, как решать эти равенства универсальным способом "через дискриминант". Примеры использования полученных знаний также даются в статье.

О каких уравнениях пойдет речь?

На рисунке ниже изображена формула, в которой x - неизвестная переменная, а латинские символы a, b, c представляют собой некоторые известные числа.

Каждый из этих символов называется коэффициентом. Как можно заметить, число "a" стоит перед переменной x, возведенной в квадрат. Это максимальная степень представленного выражения, поэтому оно называется квадратным уравнением. Часто используют другое его название: уравнение второго порядка. Само значение a - это квадратный коэффициент (стоящий при переменной в квадрате), b - это линейный коэффициент (он находится рядом с переменной, возведенной в первую степень), наконец, число c - свободный член.

Отметим, что вид уравнения, который изображен на рисунке выше, является общим классическим квадратным выражением. Помимо него существуют другие уравнения второго порядка, в которых коэффициенты b, c могут быть нулевыми.

Когда ставят задачу решить рассматриваемое равенство, то это означает, что такие значения переменной x нужно найти, которые бы ему удовлетворяли. Здесь первым делом нужно запомнить следующую вещь: поскольку максимальная степень икса - это 2, то данный тип выражений не может иметь больше, чем 2 решения. Это означает, что если при решении уравнения были найдены 2 значения x, которые ему удовлетворяют, то можно быть уверенным, что не существует никакого 3-го числа, подставляя которое вместо x, равенство также бы являлось истиной. Решения уравнения в математике называют его корнями.

Способы решения уравнений второго порядка

Решения уравнений этого типа требует знания некоторой теории о них. В школьном курсе алгебры рассматривают 4 различных метода решения. Перечислим их:

• с помощью факторизации;
• используя формулу для полного квадрата;
• применяя график соответствующей квадратичной функции;
• используя уравнение дискриминанта.

Плюс первого метода заключается в его простоте, однако, он не для всех уравнений может применяться. Второй способ является универсальным, однако несколько громоздким. Третий метод отличается своей наглядностью, но он не всегда удобен и применим. И, наконец, использование уравнения дискриминанта - это универсальный и достаточно простой способ нахождения корней абсолютно любого уравнения второго порядка. Поэтому в статье рассмотрим только его.

Формула для получения корней уравнения

Обратимся к общему виду квадратного уравнения. Запишем его: a*x²+ b*x + c =0. Перед тем как пользоваться способом его решения "через дискриминант", следует приводить равенство всегда к записанному виду. То есть оно должно состоять из трех слагаемых (или меньше, если b или c равен 0).

Например, если имеется выражение: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², то сначала следует перенести все его члены в одну сторону равенства и сложить слагаемые, содержащие переменную x в одинаковых степенях.

В данном случае эта операция приведет к следующему выражению: -6*x²-4*x+8=0, которое эквивалентно уравнению 6*x²+4*x-8=0 (здесь левую и правую части равенства мы умножили на -1).

В примере выше a = 6, b=4, c=-8. Заметим, что все члены рассматриваемого равенства всегда суммируются между собой, поэтому если появляется знак "-", то это означает, что отрицательным является соответствующий коэффициент, как число c в данном случае.

Разобрав этот момент, перейдем теперь к самой формуле, которая дает возможность получения корней квадратного уравнения. Она имеет вид, который представлен на фото ниже.

Как видно из этого выражения, оно позволяет получать два корня (следует обратить внимание на знак "±"). Для этого в него достаточно подставить коэффициенты b, c, и a.

Понятие о дискриминанте

В предыдущем пункте была приведена формула, которая позволяет быстро решить любое уравнение второго порядка. В ней подкоренное выражение называют дискриминантом, то есть D = b²-4*a*c.

Почему эту часть формулы выделяют, и она даже имеет собственное название? Дело в том, что дискриминант связывает в единое выражение все три коэффициента уравнения. Последний факт означает, что он полностью несет информацию о корнях, которую можно выразить следующим списком:

1. D>0: равенство имеет 2 различных решения, причем оба они представляют собой действительные числа.
2. D=0: у уравнения всего один корень, и он является действительным числом.

Задача на определение дискриминанта

Приведем простой пример, как найти дискриминант. Пусть дано такое равенство: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Приведем его к стандартному виду, получаем: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, откуда приходим к равенству: -2*x²+2*x-11 = 0. Здесь a=-2, b=2, c=-11.

Теперь можно воспользоваться названной формулой для дискриминанта: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Полученное число является ответом на поставленную задачу. Поскольку в примере дискриминант меньше нуля, то можно сказать, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его решением будут только числа комплексного типа.

Пример неравенства через дискриминант

Решим задачи несколько иного типа: дано равенство -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо найти такие значения c, для которых D>0.

В данном случае известно лишь 2 из 3 коэффициентов, поэтому рассчитать точное значение дискриминанта не получится, однако известно, что он является положительным. Последний факт используем при составлении неравенства: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решение полученного неравенства приводит к результату: c>-3.

Проверим полученное число. Для этого вычислим D для 2 случаев: c=-2 и c=-4. Число -2 удовлетворяет полученному результату (-2>-3), соответствующий дискриминант будет иметь значение: D = 12>0. В свою очередь, число -4 не удовлетворяет неравенству (-4Таким образом, любые числа c, которые больше -3, будут удовлетворять условию.

Пример решения уравнения

Приведем задачу, которая заключается не только в нахождении дискриминанта, но и в решении уравнения. Необходимо найти корни для равенства -2*x²+7-9*x = 0.

В этом примере дискриминант равен следующему значению: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогда корни уравнения определятся так: x = (9±√137)/(-4). Это точные значения корней, если вычислить приближенно корень, тогда получатся числа: x = -5,176 и x = 0,676.

Геометрическая задача

Решим задачу, которая потребует не только умения вычислять дискриминант, но и применения навыков абстрактного мышления и знания, как составлять квадратные уравнения.

У Боба было пуховое одеяло размером 5 x 4 метра. Мальчик захотел пришить к нему по всему периметру сплошную полосу из красивой ткани. Какой толщины будет эта полоса, если известно, что у Боба имеется 10 м² ткани.

Пусть полоса будет иметь толщину x м, тогда площадь ткани по длинной стороне одеяла составит (5+2*x)*x, а поскольку длинных сторон 2, то имеем: 2*x*(5+2*x). По короткой стороне площадь пришитой ткани составит 4*x, так как этих сторон 2, то получаем значение 8*x. Отметим, что к длинной стороне было добавлено значение 2*x, поскольку длина одеяла увеличилась на это число. Общая пришитая к одеялу площадь ткани равна 10 м². Поэтому получаем равенство: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Для этого примера дискриминант равен: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Его корень равен 22. Воспользовавшись формулой, находим искомые корни: x = (-18±22)/(2*4) = (-5; 0,5). Очевидно, что из двух корней подходит по условию задачи только число 0,5.

Таким образом, полоса из ткани, которую пришьет Боб к своему одеялу, будет иметь ширину 50 см.

Продолжаем изучение темы «решение уравнений ». Мы уже познакомились с линейными уравнениями и переходим к знакомству с квадратными уравнениями .

Сначала мы разберем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим связанные определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения. Дальше перейдем к решению полных уравнений, получим формулу корней, познакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассмотрим решения характерных примеров. Наконец, проследим связи между корнями и коэффициентами.

Навигация по странице.

Что такое квадратное уравнение? Их виды

Для начала надо отчетливо понимать, что такое квадратное уравнение. Поэтому разговор о квадратных уравнениях логично начать с определения квадратного уравнения, а также связанных с ним определений. После этого можно рассмотреть основные виды квадратных уравнений: приведенные и неприведенные, а также полные и неполные уравнения.

Определение и примеры квадратных уравнений

Определение.

Квадратное уравнение – это уравнение вида a·x 2 +b·x+c=0 , где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.

Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени. Это связано с тем, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. Так 2·x 2 +6·x+1=0 , 0,2·x 2 +2,5·x+0,03=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Определение.

Числа a , b и c называют коэффициентами квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0 , причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x 2 , b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x , а c – свободным членом.

Для примера возьмем квадратное уравнение вида 5·x 2 −2·x−3=0 , здесь старший коэффициент есть 5 , второй коэффициент равен −2 , а свободный член равен −3 . Обратите внимание, когда коэффициенты b и/или c отрицательные, как в только что приведенном примере, то используется краткая форма записи квадратного уравнения вида 5·x 2 −2·x−3=0 , а не 5·x 2 +(−2)·x+(−3)=0 .

Стоит отметить, что когда коэффициенты a и/или b равны 1 или −1 , то они в записи квадратного уравнения обычно не присутствуют явно, что связано с особенностями записи таких . Например, в квадратном уравнении y 2 −y+3=0 старший коэффициент есть единица, а коэффициент при y равен −1 .

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1 , называют приведенным квадратным уравнением . В противном случае квадратное уравнение является неприведенным .

Согласно данному определению, квадратные уравнения x 2 −3·x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 и т.п. – приведенные, в каждом из них первый коэффициент равен единице. А 5·x 2 −x−1=0 , и т.п. - неприведенные квадратные уравнения, их старшие коэффициенты отличны от 1 .

От любого неприведенного квадратного уравнения с помощью деления его обеих частей на старший коэффициент можно перейти к приведенному. Это действие является равносильным преобразованием , то есть, полученное таким способом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, так же как оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как выполняется переход от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Пример.

От уравнения 3·x 2 +12·x−7=0 перейдите к соответствующему приведенному квадратному уравнению.

Решение.

Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3 , он отличен от нуля, поэтому мы можем выполнить это действие. Имеем (3·x 2 +12·x−7):3=0:3 , что то же самое, (3·x 2):3+(12·x):3−7:3=0 , и дальше (3:3)·x 2 +(12:3)·x−7:3=0 , откуда . Так мы получили приведенное квадратное уравнение, равносильное исходному.

Ответ:

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения присутствует условие a≠0 . Это условие нужно для того, чтобы уравнение a·x 2 +b·x+c=0 было именно квадратным, так как при a=0 оно фактически становится линейным уравнением вида b·x+c=0 .

Что касается коэффициентов b и c , то они могут быть равны нулю, причем как по отдельности, так и вместе. В этих случаях квадратное уравнение называют неполным.

Определение.

Квадратное уравнение a·x 2 +b·x+c=0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов b , c равен нулю.

В свою очередь

Определение.

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Такие названия даны не случайно. Из следующих рассуждений это станет понятно.

Если коэффициент b равен нулю, то квадратное уравнение принимает вид a·x 2 +0·x+c=0 , и оно равносильно уравнению a·x 2 +c=0 . Если c=0 , то есть, квадратное уравнение имеет вид a·x 2 +b·x+0=0 , то его можно переписать как a·x 2 +b·x=0 . А при b=0 и c=0 мы получим квадратное уравнение a·x 2 =0 . Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название – неполные квадратные уравнения.

Так уравнения x 2 +x+1=0 и −2·x 2 −5·x+0,2=0 – это примеры полных квадратных уравнений, а x 2 =0 , −2·x 2 =0 , 5·x 2 +3=0 , −x 2 −5·x=0 – это неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Из информации предыдущего пункта следует, что существует три вида неполных квадратных уравнений :

• a·x 2 =0 , ему отвечают коэффициенты b=0 и c=0 ;
• a·x 2 +c=0 , когда b=0 ;
• и a·x 2 +b·x=0 , когда c=0 .

Разберем по порядку, как решаются неполные квадратные уравнения каждого из этих видов.

a·x 2 =0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида a·x 2 =0 . Уравнению a·x 2 =0 равносильно уравнение x 2 =0 , которое получается из исходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a . Очевидно, корнем уравнения x 2 =0 является нуль, так как 0 2 =0 . Других корней это уравнение не имеет, что объясняется , действительно, для любого отличного от нуля числа p имеет место неравенство p 2 >0 , откуда следует, что при p≠0 равенство p 2 =0 никогда не достигается.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x 2 =0 имеет единственный корень x=0 .

В качестве примера приведем решение неполного квадратного уравнения −4·x 2 =0 . Ему равносильно уравнение x 2 =0 , его единственным корнем является x=0 , следовательно, и исходное уравнение имеет единственный корень нуль.

Краткое решение в этом случае можно оформить следующим образом:
−4·x 2 =0 ,
x 2 =0 ,
x=0 .

a·x 2 +c=0

Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c≠0 , то есть, уравнения вида a·x 2 +c=0 . Мы знаем, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение. Поэтому можно провести следующие равносильные преобразования неполного квадратного уравнения a·x 2 +c=0 :

• перенести c в правую часть, что дает уравнение a·x 2 =−c ,
• и разделить обе его части на a , получаем .

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях. В зависимости от значений a и c значение выражения может быть отрицательным (например, если a=1 и c=2 , то ) или положительным, (к примеру, если a=−2 и c=6 , то ), оно не равно нулю, так как по условию c≠0 . Отдельно разберем случаи и .

Если , то уравнение не имеет корней. Это утверждение следует из того, что квадрат любого числа есть число неотрицательное. Из этого вытекает, что когда , то ни для какого числа p равенство не может быть верным.

Если , то дело с корнями уравнения обстоит иначе. В этом случае, если вспомнить о , то сразу становится очевиден корень уравнения , им является число , так как . Несложно догадаться, что и число тоже является корнем уравнения , действительно, . Других корней это уравнение не имеет, что можно показать, например, методом от противного. Сделаем это.

Обозначим только что озвученные корни уравнения как x 1 и −x 1 . Предположим, что уравнение имеет еще один корень x 2 , отличный от указанных корней x 1 и −x 1 . Известно, что подстановка в уравнение вместо x его корней обращает уравнение в верное числовое равенство . Для x 1 и −x 1 имеем , а для x 2 имеем . Свойства числовых равенств нам позволяют выполнять почленное вычитание верных числовых равенств, так вычитание соответствующих частей равенств и дает x 1 2 −x 2 2 =0 . Свойства действий с числами позволяют переписать полученное равенство как (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 . Мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Следовательно, из полученного равенства следует, что x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0 , что то же самое, x 2 =x 1 и/или x 2 =−x 1 . Так мы пришли к противоречию, так как вначале мы сказали, что корень уравнения x 2 отличен от x 1 и −x 1 . Этим доказано, что уравнение не имеет других корней, кроме и .

Обобщим информацию этого пункта. Неполное квадратное уравнение a·x 2 +c=0 равносильно уравнению , которое

• не имеет корней, если ,
• имеет два корня и , если .

Рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений вида a·x 2 +c=0 .

Начнем с квадратного уравнения 9·x 2 +7=0 . После переноса свободного члена в правую часть уравнения, оно примет вид 9·x 2 =−7 . Разделив обе части полученного уравнения на 9 , придем к . Так как в правой части получилось отрицательное число, то это уравнение не имеет корней, следовательно, и исходное неполное квадратное уравнение 9·x 2 +7=0 не имеет корней.

Решим еще одно неполное квадратное уравнение −x 2 +9=0 . Переносим девятку в правую часть: −x 2 =−9 . Теперь делим обе части на −1 , получаем x 2 =9 . В правой части находится положительное число, откуда заключаем, что или . После записываем окончательный ответ: неполное квадратное уравнение −x 2 +9=0 имеет два корня x=3 или x=−3 .

a·x 2 +b·x=0

Осталось разобраться с решением последнего вида неполных квадратных уравнений при c=0 . Неполные квадратные уравнения вида a·x 2 +b·x=0 позволяет решить метод разложения на множители . Очевидно, мы можем , находящийся в левой части уравнения, для чего достаточно вынести за скобки общий множитель x . Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к равносильному уравнению вида x·(a·x+b)=0 . А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0 и a·x+b=0 , последнее из которых является линейным и имеет корень x=−b/a .

Итак, неполное квадратное уравнение a·x 2 +b·x=0 имеет два корня x=0 и x=−b/a .

Для закрепления материала разберем решение конкретного примера.

Пример.

Решите уравнение .

Решение.

Выносим x за скобки, это дает уравнение . Оно равносильно двум уравнениям x=0 и . Решаем полученное линейное уравнение: , и выполнив деление смешанного числа на обыкновенную дробь, находим . Следовательно, корнями исходного уравнения являются x=0 и .

После получения необходимой практики, решения подобных уравнений можно записывать кратко:

Ответ:

x=0 , .

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Для решения квадратных уравнений существуют формула корней. Запишем формулу корней квадратного уравнения : , где D=b 2 −4·a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения . Запись по сути означает, что .

Полезно знать, как была получена формула корней, и как она применяется при нахождении корней квадратных уравнений. Разберемся с этим.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Пусть нам нужно решить квадратное уравнение a·x 2 +b·x+c=0 . Выполним некоторые равносильные преобразования :

• Обе части этого уравнения мы можем разделить на отличное от нуля число a , в результате получим приведенное квадратное уравнение .
• Теперь выделим полный квадрат в его левой части: . После этого уравнение примет вид .
• На этом этапе можно осуществить перенос двух последних слагаемых в правую часть с противоположным знаком, имеем .
• И еще преобразуем выражение, оказавшееся в правой части: .

В итоге мы приходим к уравнению , которое равносильно исходному квадратному уравнению a·x 2 +b·x+c=0 .

Аналогичные по форме уравнения мы уже решали в предыдущих пунктах, когда разбирали . Это позволяет сделать следующие выводы, касающиеся корней уравнения :

• если , то уравнение не имеет действительных решений;
• если , то уравнение имеет вид , следовательно, , откуда виден его единственный корень ;
• если , то или , что то же самое или , то есть, уравнение имеет два корня.

Таким образом, наличие или отсутствие корней уравнения , а значит и исходного квадратного уравнения, зависит от знака выражения , стоящего в правой части. В свою очередь знак этого выражения определяется знаком числителя, так как знаменатель 4·a 2 всегда положителен, то есть, знаком выражения b 2 −4·a·c . Это выражение b 2 −4·a·c , назвали дискриминантом квадратного уравнения и обозначили буквой D . Отсюда понятна суть дискриминанта – по его значению и знаку делают вывод, имеет ли квадратное уравнение действительные корни, и если имеет, то каково их количество - один или два.

Возвращаемся к уравнению , перепишем его с использованием обозначения дискриминанта: . И делаем выводы:

• если D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• если D=0 , то это уравнение имеет единственный корень ;
• наконец, если D>0 , то уравнение имеет два корня или , которые в силу можно переписать в виде или , а после раскрытия и приведения дробей к общему знаменателю получаем .

Так мы вывели формулы корней квадратного уравнения, они имеют вид , где дискриминант D вычисляется по формуле D=b 2 −4·a·c .

С их помощью при положительном дискриминанте можно вычислить оба действительных корня квадратного уравнения. При равном нулю дискриминанте обе формулы дают одно и то же значение корня, соответствующее единственному решению квадратного уравнения. А при отрицательном дискриминанте при попытке воспользоваться формулой корней квадратного уравнения мы сталкиваемся с извлечением квадратного корня из отрицательного числа, что выводит нас за рамки и школьной программы. При отрицательном дискриминанте квадратное уравнение не имеет действительных корней, но имеет пару комплексно сопряженных корней, которые можно найти по тем же полученным нами формулам корней .

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнения можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой вычислить их значения. Но это больше относиться к нахождению комплексных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о действительных корнях квадратного уравнения. В этом случае целесообразно перед использованием формул корней квадратного уравнения предварительно найти дискриминант, убедиться, что он неотрицательный (в противном случае можно делать вывод, что уравнение не имеет действительных корней), и уже после этого вычислять значения корней.

Приведенные рассуждения позволяют записать алгоритм решения квадратного уравнения . Чтобы решить квадратное уравнение a·x 2 +b·x+c=0 , надо:

• по формуле дискриминанта D=b 2 −4·a·c вычислить его значение;
• заключить, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
• вычислить единственный корень уравнения по формуле , если D=0 ;
• найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней , если дискриминант положительный.

Здесь лишь заметим, что при равном нулю дискриминанте можно использовать и формулу , она даст то же значение, что и .

Можно переходить к примерам применения алгоритма решения квадратных уравнений.

Примеры решения квадратных уравнений

Рассмотрим решения трех квадратных уравнений с положительным, отрицательным и равным нулю дискриминантом. Разобравшись с их решением, по аналогии можно будет решить любое другое квадратное уравнение. Начнем.

Пример.

Найдите корни уравнения x 2 +2·x−6=0 .

Решение.

В этом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=1 , b=2 и c=−6 . Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант, для этого подставляем указанные a , b и c в формулу дискриминанта, имеем D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28 . Так как 28>0 , то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней , получаем , здесь можно упростить полученные выражения, выполнив вынесение множителя за знак корня с последующим сокращением дроби:

Ответ:

Переходим к следующему характерному примеру.

Пример.

Решите квадратное уравнение −4·x 2 +28·x−49=0 .

Решение.

Начинаем с нахождения дискриминанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0 . Следовательно, это квадратное уравнение имеет единственный корень, который находим как , то есть,

Ответ:

x=3,5 .

Остается рассмотреть решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример.

Решите уравнение 5·y 2 +6·y+2=0 .

Решение.

Здесь такие коэффициенты квадратного уравнения: a=5 , b=6 и c=2 . Подставляем эти значения в формулу дискриминанта, имеем D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4 . Дискриминант отрицательный, следовательно, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если же потребуется указать комплексные корни, то применяем известную формулу корней квадратного уравнения , и выполняем действия с комплексными числами :

Ответ:

действительных корней нет, комплексные корни таковы: .

Еще раз отметим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то в школе обычно сразу записывают ответ, в котором указывают, что действительных корней нет, и не находят комплексные корни.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула корней квадратного уравнения , где D=b 2 −4·a·c позволяет получить формулу более компактного вида, позволяющую решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x (или просто с коэффициентом, имеющим вид 2·n , например, , или 14·ln5=2·7·ln5 ). Выведем ее.

Допустим нам нужно решить квадратное уравнение вида a·x 2 +2·n·x+c=0 . Найдем его корни с использованием известной нам формулы. Для этого вычисляем дискриминант D=(2·n) 2 −4·a·c=4·n 2 −4·a·c=4·(n 2 −a·c) , и дальше используем формулу корней:

Обозначим выражение n 2 −a·c как D 1 (иногда его обозначают D" ). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид , где D 1 =n 2 −a·c .

Несложно заметить, что D=4·D 1 , или D 1 =D/4 . Другими словами, D 1 – это четвертая часть дискриминанта. Понятно, что знак D 1 такой же, как знак D . То есть, знак D 1 также является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Итак, чтобы решить квадратное уравнение со вторым коэффициентом 2·n , надо

• Вычислить D 1 =n 2 −a·c ;
• Если D 1 <0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Если D 1 =0 , то вычислить единственный корень уравнения по формуле ;
• Если же D 1 >0 , то найти два действительных корня по формуле .

Рассмотрим решение примера с использованием полученной в этом пункте формулы корней.

Пример.

Решите квадратное уравнение 5·x 2 −6·x−32=0 .

Решение.

Второй коэффициент этого уравнения можно представить в виде 2·(−3) . То есть, можно переписать исходное квадратное уравнение в виде 5·x 2 +2·(−3)·x−32=0 , здесь a=5 , n=−3 и c=−32 , и вычислить четвертую часть дискриминанта: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169 . Так как его значение положительно, то уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя соответствующую формулу корней:

Заметим, что можно было использовать обычную формулу корней квадратного уравнения, но в этом случае пришлось бы выполнить больший объем вычислительной работы.

Ответ:

Упрощение вида квадратных уравнений

Порой, прежде чем пускаться в вычисление корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задаться вопросом: «А нельзя ли упростить вид этого уравнения»? Согласитесь, что в плане вычислений проще будет решить квадратное уравнение 11·x 2 −4·x−6=0 , чем 1100·x 2 −400·x−600=0 .

Обычно упрощение вида квадратного уравнения достигается путем умножения или деления его обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце удалось достичь упрощения уравнения 1100·x 2 −400·x−600=0 , разделив обе его части на 100 .

Подобное преобразование проводят с квадратными уравнениями, коэффициенты которого не являются . При этом обычно делят обе части уравнения на абсолютных величин его коэффициентов. Для примера возьмем квадратное уравнение 12·x 2 −42·x+48=0 . абсолютных величин его коэффициентов: НОД(12, 42, 48)= НОД(НОД(12, 42), 48)= НОД(6, 48)=6 . Разделив обе части исходного квадратного уравнения на 6 , мы придем к равносильному ему квадратному уравнению 2·x 2 −7·x+8=0 .

А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно производится для избавления от дробных коэффициентов. При этом умножение проводят на знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК(6, 3, 1)=6 , то оно примет более простой вид x 2 +4·x−18=0 .

В заключение этого пункта заметим, что почти всегда избавляются от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки всех членов, что соответствует умножению (или делению) обеих частей на −1 . Например, обычно от квадратного уравнения −2·x 2 −3·x+7=0 переходят к решению 2·x 2 +3·x−7=0 .

Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты. Отталкиваясь от формулы корней, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Наиболее известны и применимы формулы из теоремы Виета вида и . В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену. Например, по виду квадратного уравнения 3·x 2 −7·x+22=0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3 , а произведение корней равно 22/3 .

Используя уже записанные формулы можно получить и ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. К примеру, можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI

§ 253. Извлечение корней квадратных из отрицательных чисел.
Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами

Как мы знаем,

i 2 = - 1.

Вместе с тем

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Таким образом, существуют по крайней мере два значения корня квадратного из - 1, а именно i и - i . Но, может быть, есть еще какие-нибудь комплексные числа, квадраты которых равны - 1?

Чтобы выяснить этот вопрос, предположим, что квадрат комплексного числа а + bi равен - 1. Тогда

(а + bi ) 2 = - 1,

а 2 + 2аbi - b 2 = - 1

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Поэтому

{	а 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Согласно второму уравнению системы (1) хотя бы одно из чисел а и b должно равняться нулю. Если b = 0, то из первого уравнения получается а 2 = - 1. Число а действительное, и поэтому а 2 > 0. Неотрицательное число а 2 не может равняться отрицательному числу - 1. Поэтому равенство b = 0 в данном случае невозможно. Остается признать, что а = 0, но тогда из первого уравнения системы получаем: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Следовательно, комплексными числами, квадраты которых равны -1, являются только числа i и -i , Условно это записывается в виде:

√-1 = ± i .

Аналогичными рассуждениями учащиеся могут убедиться в том, что существует ровно два числа, квадраты которых равны отрицательному числу -а . Такими числами являются √a i и -√a i . Условно это записывается так:

√- а = ± √a i .

Под √a здесь подразумевается арифметический, то есть положительный, корень. Например, √4 = 2, √9 =.3; поэтому

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3i

Если раньше при рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами мы говорили, что такие уравнения не имеют корней, то теперь так говорить уже нельзя. Квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами имеют комплексные корни. Эти корни получаются по известным нам формулам. Пусть, например, дано уравнение x 2 + 2х + 5 = 0; тогда

х 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2i .

Итак, данное уравнение имеет два корня: х 1 = - 1 +2i , х 2 = - 1 - 2i . Эти корни являются взаимно сопряженными. Интересно отметить, что сумма их равна - 2, а произведение 5, так что выполняется теорема Виета.

Упражнения

2022. (У с т н о.) Решить уравнения:

а) x 2 = - 16; б) x 2 = - 2; в) 3x 2 = - 5.

2023. Найти все комплексные числа, квадраты которых равны:

а) i ; б) 1 / 2 - √ 3 / 2 i ;

2024. Решить квадратные уравнения:

а) x 2 - 2x + 2 = 0; б) 4x 2 + 4x + 5 = 0; в) x 2 - 14x + 74 = 0.

Решить системы уравнений (№ 2025, 2026):

{	x + y = 6 xy = 45

{	2x - 3y = 1 xy = 1

2027. Доказать, что корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом являются взаимно сопряженными.

2028. Доказать, что теорема Виета верна для любых квадратных уравнений, а не только для уравнений с неотрицательным дискриминантом.

2029. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнями которого являются:

a) х 1 = 5 - i , х 2 = 5 + i ; б) х 1 = 3i , х 2 = - 3i .

2030. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, один из корней которого равен (3 - i ) (2i - 4).

2031. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, один из корней которого равен 32 - i
1- 3i .

Квадратные уравнения. Дискриминант. Решение, примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым словом является "квадратное". Оно означает, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение - это уравнение вида:

Здесь a, b и с – какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля. Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе...

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде - первый этап делать не нужно.) Главное - правильно определить все коэффициенты, а , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант . Но о нём - ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте !

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения .

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с .

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с , а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым - абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1 - то, что меньше, а х 2 - то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х 1 = -3 , х 2 = 3 .

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D . Формула дискриминанта:

D = b 2 - 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта? Ведь -b, или 2a в этой формуле специально никак не называют... Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта не обойтись. Особенно - в уравнениях с параметрами. Такие уравнения - высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с . Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось - надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, - избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке "Как решать уравнения? Тождественные преобразования". При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 - 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 - 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 = 2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х - любое число

х 1 = -3
х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения - не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные - нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.