График функции – это наглядное представление поведения некоторой функции на координатной плоскости. Графики помогают понять различные аспекты функции, которые невозможно определить по самой функции. Можно построить графики множества функций, причем каждая из них будет задана определенной формулой. График любой функции строится по определенному алгоритму (если вы забыли точный процесс построения графика конкретной функции).
Шаги
Построение графика линейной функции
- Если угловой коэффициент отрицательный, функция убывает.
-
От точки пересечения прямой с осью Y нанесите вторую точку, используя вертикальное и горизонтальное расстояния. График линейной функции можно построить по двум точкам. В нашем примере точка пересечения с осью Y имеет координаты (0,5); от этой точки передвиньтесь на 2 деления вверх, а затем на 1 деление вправо. Отметьте точку; она будет иметь координаты (1,7). Теперь можно провести прямую.
При помощи линейки проведите прямую через две точки. Во избежание ошибок найдите третью точку, но в большинстве случаев график можно построить по двум точкам. Таким образом, вы построили график линейной функции.
Нанесение точек на координатную плоскость
-
Определите функцию. Функция обозначается как f(x). Все возможные значения переменной «у» называются областью значений функции, а все возможные значения переменной «х» называются областью определения функции. Например, рассмотрим функцию y = x+2, а именно f(x) = x+2.
Нарисуйте две пересекающиеся перпендикулярные прямые. Горизонтальная прямая – это ось Х. Вертикальная прямая – это ось Y.
Обозначьте оси координат. Разбейте каждую ось на равные отрезки и пронумеруйте их. Точка пересечения осей – это 0. Для оси Х: справа (от 0) наносятся положительные числа, а слева отрицательные. Для оси Y: сверху (от 0) наносятся положительные числа, а снизу отрицательные.
Найдите значения «у» по значениям «х». В нашем примере f(x) = х+2. Подставьте в эту формулу определенные значения «х», чтобы вычислить соответствующие значения «у». Если дана сложная функция, упростите ее, обособив «у» на одной стороне уравнения.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Нанесите точки на координатную плоскость. Для каждой пары координат сделайте следующее: найдите соответствующее значение на оси Х и проведите вертикальную линию (пунктиром); найдите соответствующее значение на оси Y и проведите горизонтальную линию (пунктиром). Обозначьте точку пересечения двух пунктирных линий; таким образом, вы нанесли точку графика.
Сотрите пунктирные линии. Сделайте это после нанесения на координатную плоскость всех точек графика. Примечание: график функции f(х) = х представляет собой прямую, проходящую через центр координат [точку с координатами (0,0)]; график f(х) = х + 2 – это прямая, параллельная прямой f(х) = х, но сдвинутая на две единицы вверх и поэтому проходящая через точку с координатами (0,2) (потому что постоянная равна 2).
Построение графика сложной функции
Найдите нули функции. Нули функции – это значения переменной «х», при которых у = 0, то есть это точки пересечения графика с осью Х. Имейте в виду, что нули имеют не все функции, но это первый шаг процесса построения графика любой функции. Чтобы найти нули функции, приравняйте ее к нулю. Например:
Найдите и отметьте горизонтальные асимптоты. Асимптота – это прямая, к которой график функции приближается, но никогда не пересекает ее (то есть в этой области функция не определена, например, при делении на 0). Асимптоту отметьте пунктирной линией. Если переменная «х» находится в знаменателе дроби (например, y = 1 4 − x 2 {\displaystyle y={\frac {1}{4-x^{2}}}} ), приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х». В полученных значения переменной «х» функция не определена (в нашем примере проведите пунктирные линии через х = 2 и х = -2), потому что на 0 делить нельзя. Но асимптоты существуют не только в случаях, когда функция содержит дробное выражение. Поэтому рекомендуется пользоваться здравым смыслом:
-
Определите, является ли функция линейной. Линейная функция задается формулой вида F (x) = k x + b {\displaystyle F(x)=kx+b} или y = k x + b {\displaystyle y=kx+b} (например, ), а ее график представляет собой прямую. Таким образом, формула включает одну переменную и одну константу (постоянную) без каких-либо показателей степеней, знаков корня и тому подобного. Если дана функция аналогичного вида, построить график такой функции довольно просто. Вот другие примеры линейных функций:
Воспользуйтесь константой, чтобы отметить точку на оси Y. Константа (b) является координатой «у» точки пересечения графика с осью Y. То есть это точка, координата «х» которой равна 0. Таким образом, если в формулу подставить х = 0, то у = b (константе). В нашем примере y = 2 x + 5 {\displaystyle y=2x+5} константа равна 5, то есть точка пересечения с осью Y имеет координаты (0,5). Нанесите эту точку на координатную плоскость.
Найдите угловой коэффициент прямой. Он равен множителю при переменной. В нашем примере y = 2 x + 5 {\displaystyle y=2x+5} при переменной «х» находится множитель 2; таким образом, угловой коэффициент равен 2. Угловой коэффициент определяет угол наклона прямой к оси X, то есть чем больше угловой коэффициент, тем быстрее возрастает или убывает функция.
Запишите угловой коэффициент в виде дроби. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона, то есть отношению вертикального расстояния (между двумя точками на прямой) к горизонтальному расстоянию (между этими же точками). В нашем примере угловой коэффициент равен 2, поэтому можно заявить, что вертикальное расстояние равно 2, а горизонтальное расстояние равно 1. Запишите это в виде дроби: 2 1 {\displaystyle {\frac {2}{1}}} .
Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями \
Исследуем сначала графики функций \(x\left(t \right)\) и \(x\left(t \right)\). Обе функции представляют собой кубические многочлены, которые определены для всех \(x \in \mathbb{R}.\) Находим производную \(x"\left(t \right):\) \[ {x"\left(t \right) = {\left({{t^3} + {t^2} - t} \right)^\prime } } = {3{t^2} + 2t - 1.} \] Решая уравнение \(x"\left(t \right) = 0,\) определяем стационарные точки функции \(x\left(t \right):\) \[ {x"\left(t \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 3{t^2} + 2t - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {16} }}{6} = - 1;\;\frac{1}{3}.} \] При \(t = 1\) функция \(x\left(t \right)\) достигает максимума, равного \ а в точке \(t = \large\frac{1}{3}\normalsize\) она имеет минимум, равный \[ {x\left({\frac{1}{3}} \right) } = {{\left({\frac{1}{3}} \right)^3} + {\left({\frac{1}{3}} \right)^2} - \left({\frac{1}{3}} \right) } = {\frac{1}{{27}} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = - \frac{5}{{27}}.} \] Рассмотрим производную \(y"\left(t \right):\) \[ {y"\left(t \right) = {\left({{t^3} + 2{t^2} - 4t} \right)^\prime } } = {3{t^2} + 4t - 4.} \] Находим стационарные точки функции \(y\left(t \right):\) \[ {y"\left(t \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 3{t^2} + 4t - 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {64} }}{6} = - 2;\;\frac{2}{3}.} \] Здесь, аналогично, функция \(y\left(t \right)\) достигает максимума в точке \(t = -2:\) \ и минимума в точке \(t = \large\frac{2}{3}\normalsize:\) \[ {y\left({\frac{2}{3}} \right) } = {{\left({\frac{2}{3}} \right)^3} + 2{\left({\frac{2}{3}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{2}{3} } = {\frac{8}{{27}} + \frac{8}{9} - \frac{8}{3} } = { - \frac{{40}}{{27}}.} \] Графики функций \(x\left(t \right)\), \(y\left(t \right)\) схематически показаны на рисунке \(15a.\)
Рис.15a |
Рис.15b |
Рис.15с |
Заметим, что так как \[ {\lim\limits_{t \to \pm \infty } x\left(t \right) = \pm \infty ,}\;\;\; {\lim\limits_{t \to \pm \infty } y\left(t \right) = \pm \infty ,} \] то кривая \(y\left(x \right)\) не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных асимптот. Более того, поскольку \[ {k = \lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{y\left(t \right)}}{{x\left(t \right)}} } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{{t^3} + 2{t^2} - 4t}}{{{t^3} + {t^2} - t}} } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{2}{t} - \frac{4}{{{t^2}}}}}{{1 + \frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}}} = 1,} \] \[ {b = \lim\limits_{t \to \pm \infty } \left[ {y\left(t \right) - kx\left(t \right)} \right] } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \left({\cancel{\color{blue}{t^3}} + \color{red}{2{t^2}} - \color{green}{4t} - \cancel{\color{blue}{t^3}} - \color{red}{t^2} + \color{green}{t}} \right) } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \left({\color{red}{t^2} - \color{green}{3t}} \right) = + \infty ,} \] то кривая \(y\left(x \right)\) не имеет также и наклонных асимптот.
Определим точки пересечения графика \(y\left(x \right)\) с осями координат. Пересечение с осью абсцисс происходит в следующих точках: \[ {y\left(t \right) = {t^3} + 2{t^2} - 4t = 0,}\;\; {\Rightarrow t\left({{t^2} + 2t - 4} \right) = 0;} \]
\({{t^2} + 2t - 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left({ - 4} \right) = 20,}\;\; {\Rightarrow {t_{2,3}} = \large\frac{{ - 2 \pm \sqrt {20} }}{2}\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .} \)
\({{t^2} + t - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left({ - 1} \right) = 5,}\;\; {\Rightarrow {t_{2,3}} = \large\frac{{ - 1 \pm \sqrt {5} }}{2}\normalsize.} \)
На втором промежутке \(\left({ - 2, - 1} \right)\) переменная \(x\) возрастает от \(x\left({ - 2} \right) = - 2\) до \(x\left({ - 1} \right) = 1,\) а переменная \(y\) убывает от \(y\left({ - 2} \right) = 8\) до \(y\left({ - 1} \right) = 5.\) Здесь мы имеем участок убывающей кривой \(y\left(x \right).\) Она пересекает ось ординат в точке \(\left({0,3 + 2\sqrt 5 } \right).\)
На третьем интервале \(\left({ - 1,\large\frac{1}{3}\normalsize} \right)\) обе переменные убывают. Значение \(x\) изменяется от \(x\left({ - 1} \right) = 1\) до \(x\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{5}{{27}}\normalsize.\) Соответственно, значение \(y\) уменьшается от \(y\left({ - 1} \right) = 5\) до \(y\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{29}{{27}}\normalsize.\) Кривая \(y\left(x \right)\) при этом пересекает начало координат.
На четвертом интервале \(\left({\large\frac{1}{3}\normalsize,\large\frac{2}{3}\normalsize} \right)\) переменная \(x\) возрастает от \(x\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{5}{{27}}\normalsize\) до \(x\left({\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = \large\frac{2}{{27}}\normalsize,\) а переменная \(y\) убывает от \(y\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{29}{{27}}\normalsize\) до \(y\left({\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{40}{{27}}\normalsize.\) На этом участке кривая \(y\left(x \right)\) пересекает ось ординат в точке \(\left({0,3 - 2\sqrt 5 } \right).\)
Наконец, на последнем интервале \(\left({\large\frac{2}{3}\normalsize, + \infty } \right)\) обе функции \(x\left(t \right)\), \(y\left(t \right)\) возрастают. Кривая \(y\left(x \right)\) пересекает ось абсцисс в точке \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \approx 2,18.\)
Для уточнения формы кривой \(y\left(x \right)\) вычислим точки максимума и минимума. Производная \(y"\left(x \right)\) выражается в виде \[ {y"\left(x \right) = {y"_x} } = {\frac{{{y"_t}}}{{{x"_t}}} } = {\frac{{{{\left({{t^3} + 2{t^2} - 4t} \right)}^\prime }}}{{{{\left({{t^3} + {t^2} - t} \right)}^\prime }}} } = {\frac{{3{t^2} + 4t - 4}}{{3{t^2} + 2t - 1}} } = {\frac{{\cancel{3}\left({t + 2} \right)\left({t - \frac{2}{3}} \right)}}{{\cancel{3}\left({t + 1} \right)\left({t - \frac{1}{3}} \right)}} } = {\frac{{\left({t + 2} \right)\left({t - \frac{2}{3}} \right)}}{{\left({t + 1} \right)\left({t - \frac{1}{3}} \right)}}.} \] Изменение знака производной \(y"\left(x \right)\) показано на рисунке \(15c.\) Видно, что в точке \(t = - 2,\) т.е. на границе \(I\)-го и \(II\)-го интервалов кривая имеет максимум, а при \(t = \large\frac{2}{3}\normalsize\) (на границе \(IV\)-го и \(V\)-го интервалов) существует минимум. При переходе через точку \(t = \large\frac{1}{3}\normalsize\) производная также меняет знак с плюса на минус, но в этой области кривая \(y\left(x \right)\) не является однозначной функцией. Поэтому указанная точка экстремумом не является.
Исследуем также выпуклость данной кривой. Вторая производная \(y""\left(x \right)\) имеет вид: \[ y""\left(x \right) = {y""_{xx}} = \frac{{{{\left({{y"_x}} \right)}"_t}}}{{{x"_t}}} = \frac{{{{\left({\frac{{3{t^2} + 4t - 4}}{{3{t^2} + 2t - 1}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left({{t^3} + {t^2} - t} \right)}^\prime }}} = \frac{{\left({6t + 4} \right)\left({3{t^2} + 2t - 1} \right) - \left({3{t^2} + 4t - 4} \right)\left({6t + 2} \right)}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{18{t^3} + 12{t^2} + 12{t^2} + 8t - 6t - 4 - \left({18{t^3} + 24{t^2} - 24t + 6{t^2} + 8t - 8} \right)}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{\cancel{\color{blue}{18{t^3}}} + \color{red}{24{t^2}} + \color{green}{2t} - \color{maroon}{4} - \cancel{\color{blue}{18{t^3}}} - \color{red}{30{t^2}} + \color{green}{16t} + \color{maroon}{8}}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - \color{red}{6{t^2}} + \color{green}{18t} + \color{maroon}{4}}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - 6\left({t - \frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right)\left({t - \frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right)}}{{{{\left({t + 1} \right)}^3}{{\left({3t - 1} \right)}^3}}}. \] Следовательно, вторая производная меняет свой знак на противоположный при переходе через следующие точки (рис.\(15с\)): \[ {{t_1} = - 1:\;\;x\left({ - 1} \right) = 1,}\;\; {y\left({ - 1} \right) = 5;} \] \[ {{t_2} = \frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}:}\;\; {x\left({\frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 0,24;}\;\; {y\left({\frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 0,91;} \] \[ {{t_3} = \frac{1}{3}:}\;\; {x\left({\frac{1}{3}} \right) = - \frac{5}{{27}},}\;\; {y\left({\frac{1}{3}} \right) = - \frac{{29}}{{27}};} \] \[ {{t_4} = \frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}:}\;\; {x\left({\frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 40,1;}\;\; {y\left({\frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 40,8.} \] Поэтому указанные точки представляют собой точки перегиба кривой \(y\left(x \right).\)
Схематический график кривой \(y\left(x \right)\) показан выше на рисунке \(15b.\)
Функция y=x^2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.
Квадратичная функция
Рис 1. Общий вид параболы
Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.
Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).
Основные свойства квадратичной функции
1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }
