Падение тела под углом к горизонту формулы. Изучение движения тела, брошенного под углом к горизонту

Пусть тело брошено под углом к горизонту со скоростью . Как и в предыдущих случаях, будем пренебрегать сопротивлением воздуха. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ox и Oy (рис. 1). Начало отсчета совместим с начальным положением тела. Проекции начальной скорости на оси Oy и Ox

Проекции ускорения:

Тогда движение тела будет описываться уравнениями:

Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно со скоростью , а в вертикальном - равноускоренно.

Траекторией движения тела будет парабола. Учитывая, что в верхней точке параболы , можно найти время подъема тела до верхней точки параболы:

Подставив значение в уравнение (3), найдем максимальную высоту подъема тела:

Время полета тела находим из условия, что при координата . Следовательно, . Отсюда, - время полета тела. Сравнивая эту формулу с формулой (5), видим, что . Время движения тела с максимальной высоты . Следовательно, сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько времени оно опускается с этой высоты. Подставляя в уравнение координаты x (1) значение времени , найдем:

Мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по касательной к траектории (см. рис. 1). модуль скорости определяется по формуле

Таким образом, движение тела, брошенного под углом к горизонту или в горизонтальном направлении, можно рассматривать как результат двух независимых движений - горизонтального равномерного и вертикального равноускоренного (свободного падения без начальной скорости или движения тела, брошенного вертикально вверх).

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Рассмотрим движение тела, брошенного со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к горизонту, в плоскости XOY, расположив тело в момент бросания в начало координат, как это изображено на рисунке 1.

В отсутствии сил сопротивления, движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как частный случай криволинейного движения под действием силы тяжести. Применяя 2 - ой закон Ньютона

рисунке 1 направлена вверх, в случае, когда ось OY направлена вниз, то проекция вектора

2 a на ось ОУ будет положительна (читая условия задач, выбирайте сами направление осей, если это не прописано в условии).

Значения проекций вектора ускорения a на оси ОХ и ОУ дают основание сделать

следующий вывод:

∙ тело, брошенное под углом к горизонту, одновременно участвует в двух движениях - равномерном по горизонтали и равнопеременном по

Для равнопеременного движения зависимости скорости и перемещения от времени задаются уравнениями:

координаты тела в момент времени t.

За время своего движения t (от момента бросания до момента падения на тот же

уровень) тело поднимается на максимальную высоту hmax , спускается с неё и отлетает от места бросания на расстояние L (дальность полета) - см. рисунок 1.

1) Время движения тела t можно найти, учитывая значения координат тела Sy в

подставив значения Voy и (14) во второе уравнение системы (13), получаем

2) Дальность полета L можно найти, учитывая значения координат тела Sх в

начальный момент времени и в момент времени t (см. рис.1)

подставив значения Vox и (17) в первое уравнение системы (13), получаем

3) Максимальную высоту подъёма тела h max можно найти, учитывая значение

скорости тела V в точке максимального подъёма тела

Сравнение значений (16) и (22), даёт основание сделать вывод

· время движения на высоту максимального подъёма тела (t под ) равно времени спуска тела (tсп ) с этой высоты и равно половине времени всего движения тела от момента бросания до момента падения на тот же уровень

Изучать движение тела, брошенного со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к горизонту, в плоскости XOY, очень наглядно на компьютерной модели

"Свободное падение тел" в сборнике компьютерных моделей "Открытая физика"

компании ФИЗИКОН. В этой модели можно задавать разные начальные условия.

Например, рассмотренный нами случай нужно задавать (команда "Очистить") при начальном условии h = 0 и выбранных V0 и α. Команда "Старт" продемонстрирует движение тела и даст картинку траектории движения и направление векторов скорости тела в фиксированные моменты времени.

Рис.2. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе

"Механика"; тело движется из точки начала координат и падает на том же уровне .

Если условие задачи отличается от рассмотренного нами случая, то необходимо

для решения задачи, выбрав направление осей, разместить тело в начальный момент

времени, изобразить траекторию движения тела до точки падения, таким образом

определив координаты тела в начальный и конечный моменты времени. Затем

использовать уравнения (3), (5), (8) и (9) как основу для решения и рассмотренный выше

алгоритм решения задачи.

Рассмотрим частные случаи.

6 1. Тело бросили со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к

горизонту, с высоты h и оно упало на расстоянии L от места бросания. y в начальный

а значения остальных координат будут выбраны так же, как мы выбирали.

Рис.3. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе

"Механика"; тело движется из точки h = 50м и падает на нулевой уровень .

2. Тело бросили горизонтально со скоростью V 0 , с высоты h и оно упало на расстоянии L от места бросания. Отличие от рассмотренного нами случая заключается в том, значения координат тела S y в начальный момент определится так же уравнением (25),

а значения остальных координат будут выбраны так же, как мы выбирали. Но в этом случае начальная скорость тела в проекции на ось ОУ равна нулю (так как α = 0), т.е.

проекции вектора начальной скорости на оси ОХ и ОУ равны

Рис.4. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе

"Механика"; тело, брошенное горизонтально, движется из точки h = 50м и падает на нулевой уровень .

Тело, брошенное под углом к горизонту, будем рассматривать как материальную точку, совершающую свободный полет в поле тяжести Земли, без учета сопротивления воздуха. Вектор ускорения в таком движении является постоянной величиной:

\[\overline{a}=\overline{g}\left(1\right).\]

Скорость движения такого тела можно выразить формулой:

\[\overline{v}\left(t\right)={\overline{v}}_0+\overline{g}t\ \left(2\right),\]

где ${\overline{v}}_0$ - скорость тела в момент броска. Формулу (2) можно рассматривать как результат сложения скоростей двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело, брошенное под углом к горизонту. Это равномерное перемещение с постоянной скоростью ${\overline{v}}_0$ в направлении горизонта и равноускоренного движения с ускорением $\overline{g}$ без начальной скорости в направлении вектора ускорения свободного падения.

Согласно принципу независимости перемещений при одновременном участии тела в этих двух движениях перемещение нашей материальной точки ($\Delta \overline{r}$) равно сумме векторов: ${\overline{v}}_0t$ и $\frac{\overline{g}t^2}{2}$. Если мы поместим начало отсчета в точку нахождения тела в момент начала наблюдения ($=0$), то вектор перемещения за промежуток времени от 0 до $t$ будет совпадать с радиус-вектором $\overline{r}(t)$:

\[\overline{r}\left(t\right)={\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}\left(3\right),\]

где $\overline{g}$ направлен вертикально вниз и равен по величине приблизительно 9,8 $\frac{м}{с^2}.$

Траектория движения тела, брошенное под углом к горизонту

Не смотря на то, что каждое отдельное движение тела происходит по прямой, результирующей траекторией является парабола, лежащая в плоскости в которой находятся векторы ${\overline{v}}_0$ и $\overline{g}$.

Допустим, что тело при $t=0\ c$ было на высоте $h$, его бросили со скоростью ${\overline{v}}_0$, направленной под углом $\alpha $ к горизонту (рис.1).

Начальные условия при рассматриваемом движении точки таковы:

\[при\ t=0\ c\left\{ \begin{array}{c} x_0=0, \\ y_0=h, \\ v_{0x}=v_0{\cos \alpha ,\ } \\ v_{0y}=v_0{\sin \alpha .\ } \end{array} \right.(4)\]

Кроме этого мы знаем, что для рассматриваемого движения: $a_x=0;;\ a_y=-g.$ Выражения для проекции скорости (2) на оси принимают вид:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=v_0{\cos \alpha ,\ } \\ v_y=v_0{\sin \alpha -gt\ } \end{array} \left(5\right).\right.\]

Уравнение перемещения при равнопеременном движении ($\overline{a}=\overline{g}$):

\[\overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2},\]

где ${\overline{s}}_0$ - смещение тела в начальный момент времени. В нашем случае $s_0=h$. Уравнения координат точки, брошенной под углом к горизонту из уравнения для перемещения:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=v_0{\cos \left(\alpha \right)\cdot t,\ } \\ y={h+v}_0{\sin \left(\alpha \right)\cdot t-\frac{gt^2}{2}\ } \end{array} \left(6\right).\right.\]

Из систем уравнений (5) и (6) траектория движения материальной точки получается, задана уравнением:

По форме уравнения (7) видно, что траекторией движения является парабола.

Время подъема и полета тела, брошенное под углом к горизонту

Время подъема тела, брошенное под углом к горизонту, при рассматриваемом движении легко определить из системы уравнений (5). В точке максимального подъема вектор скорости точки параллелен оси X, значит $v_y=0$, время подъема ($t_p$) равно:

Время, которое тело пребывало в воздухе (время полета($t_{pol}$)) определяют из второго уравнения системы (6), приравнивая координату $y$ к нулю, получают:

Дальность полета и высота подъема

Для того чтобы найти горизонтальную дальность полета тела, брошенное под углом к горизонту, ($s$) при заданных нами условиях в уравнение координаты $x$ системы уравнений (6) следует подставить время полета ($t_{pol}$) (9). При $h=0,$ дальность полета равна:

Из выражения (10) следует, что при данной скорости бросания дальность полета максимальна при $\alpha =\frac{\pi }{4}$.

Максимальную высоту подъема тела ($h_{max}$) находят из второго уравнения системы (6), подставляя в него время подъема ($t_p$) (8):

Выражение (11) показывает, что максимальная высота подъема тела прямо пропорциональна квадрату скорости бросания и увеличивается при росте угла бросания.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание: Чему равно время полета тела, которое бросили параллельно Земле с высоты $h_0$? Начальная скорость тела равна ${\overline{v}}_0$.

Решение: Сделаем рисунок.

Основой для решения задачи является уравнение:

\[\overline{r}\left(t\right)={\overline{h}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}\left(1.1\right).\]

Проектируя его на оси X и Y получаем:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t, \\ y=h_0-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.\left(1.2\right).\]

При падении тела на Землю при нашем выборе системы отсчета получаем, что $y=0$, зная это выразим искомое время:

Ответ: $t_{pol}=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$

Пример 2

Задание: Какой является траектория движения тела падающего с высоты $h_0$ в условиях первого примера?

Решение: В первом примере проектируя уравнение $\overline{r}\left(t\right)$ на оси координат, мы получили, что:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t, \\ y=h_0-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right..\]

Выразим из первого уравнения время

подставим его во второе уравнение:

Мы получили уравнение параболы. Траекторией движения падающего тела в наших условиях будет ветка параболы. Вершина этой ветки параболы будет находиться в точке бросания.

Ответ: $y=h_0-\frac{g}{2v^2_0}x^2,$ ветвь параболы (рис.3).

Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила -- сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения; проекции ускорения на координатные оси ах = 0, ау = - g.

Рисунок 1. Кинематические характеристики тела, брошенного под углом к горизонту

Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:

где $v_0$ - начальная скорость, ${\mathbf \alpha }$ - угол бросания.

При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тогда получим:

(1)

Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:

Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.

Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета - это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный $t_0$. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.

Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем

Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:

и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:

Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания $\alpha $ и его функции -- здесь просто константы, т.е. постоянные числа.

Тело брошено со скоростью v0 под углом ${\mathbf \alpha }$ к горизонту. Время полета $t = 2 с$. На какую высоту Hmax поднимется тело?

$$t_В = 2 с$$ $$H_max - ?$$

Закон движения тела имеет вид:

$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_{0x}t \\ y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.$$

Вектор начальной скорости образует с осью ОХ угол ${\mathbf \alpha }$. Следовательно,

\ \ \

С вершины горы бросают под углом = 30${}^\circ$ к горизонту камень с начальной скоростью $v_0 = 6 м/с$. Угол наклонной плоскости = 30${}^\circ$. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?

$$ \alpha =30{}^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$

Поместим начало координат в точку бросания, ОХ -- вдоль наклонной плоскости вниз, OY -- перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Кинематические характеристики движения:

Закон движения:

$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t{cos 2\alpha +g\frac{t^2}{2}{sin \alpha \ }\ } \\ y=v_0t{sin 2\alpha \ }-\frac{gt^2}{2}{cos \alpha \ } \end{array} \right.$$ \

Подставив полученное значение $t_В$, найдём $S$:

Кинематика - это просто!

После броска, в полете, на тело действуют сила тяжести Fт и сила сопротивления воздуха Fс .
Если движение тела происходит на малых скоростях, то при расчете силу сопротивления воздуха обычно не учитывают.
Итак, можно считать, что на тело действует только сила тяжести, значит движение брошенного тела является свободным падением .
Если это свободное падение, то ускорение брошенного тела равно ускорению свободного падения g .
На малых высотах относительно поверхности Земли сила тяжести Fт практически не меняется, поэтому тело движется с постоянным ускорением.

Итак, движение тела, брошенного под углом к горизонту является вариантом свободного падения, т.е. движением с постоянным ускорением и криволинейной траекторией (т.к. векторы скорости и ускорения не совпадают по направлению).

Формулы этого движения в векторном виде: Для расчета движения тела выбирают прямоугольную систему координат XOY, т.к. траекторией движения тела является парабола, лежащая в плоскости, проходящей через векторы Fт и Vo .
За начало координат обычно выбирают точку начала движения брошенного тела.

В любой момент времени изменение скорости движения тела по направлению совпадает с ускорением.

Вектор скорости тела в любой точке траектории можно разложить на 2 составляющих: вектор V x и вектор V y .
В любой момент времени скорость тела будет определяться, как геометрическая сумма этих векторов:

Согласно рисунку, проекции вектора скорости на координатные оси OX и OY выглядят так:

Расчет скорости тела в любой момент времени:

Расчет перемещения тела в любой момент времени:

Каждой точке траектории движения тела соответствуют координаты X и Y:

Расчетные формулы для координат брошенного тела в любой момент времени:

Из уравнения движения можно вывести формулы для расчета максимальной дальности полета L:

и максимальной высоты полета Н:

P.S.
1. При равных по величине начальных скоростях Vo дальность полета:
- возрастает, если начальный угол бросания увеличивать от 0 o до 45 o ,
- убывает, если начальный угол бросания увеличивать от 45 o до 90 o .

2. При равных начальных углах бросания дальность полета L возрастает с увеличением начальной скорости Vo.

3. Частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту, является движение тела, брошенного горизонтально , при этом начальный угол бросания равен нулю.