Какое из отрицательных чисел будет больше. Сравнение рациональных чисел

Определение 1. Если два числа 1) a и b при делении на p дают один и тот же остаток r , то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю p .

Утверждение 1. Пусть p какое нибудь положительное число. Тогда всякое число a всегда и притом единственным способом может быть представлено в виде

Но эти числа можно получить задав r равным 0, 1, 2,..., p −1. Следовательно sp+r=a получит всевозможные целые значения.

Покажем, что это представление единственно. Предположим, что p можно представить двумя способами a=sp+r и a=s 1 p +r 1 . Тогда

(2)

Так как r 1 принимает один из чисел 0,1, ..., p −1, то абсолютное значение r 1 −r меньше p . Но из (2) следует, что r 1 −r кратно p . Следовательно r 1 =r и s 1 =s .

Число r называется вычетом числа a по модулю p (другими словами, число r называется остатком от деления числа a на p ).

Утверждение 2. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то a−b делится на p .

Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то они при делении на p имеют один и тот же остаток p . Тогда

делится на p , т.к. правая часть уравнения (3) делится на p .

Утверждение 3. Если разность двух чисел делится на p , то эти числа сравнимы по модулю p .

Доказательство. Обозначим через r и r 1 остатки от деления a и b на p . Тогда

Примеры 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Из первого примера следует, что 25 при делении на 7 дает тот же остаток, что и 39. Действительно 25=3·7+4 (остаток 4). 39=3·7+4 (остаток 4). При рассмотрении второго примера нужно учитывать, что остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим, чем модуль (т.е. 4). Тогда можно записать: −18=−5·4+2 (остаток 2), 14=3·4+2 (остаток 2). Следовательно −18 при делении на 4 дает остаток 2, и 14 при делении на 4 дает остаток 2.

Свойства сравнений по модулю

Свойство 1. Для любого a и p всегда

не всегда следует сравнение

где λ это наибольший общий делитель чисел m и p .

Доказательство. Пусть λ наибольший общий делитель чисел m и p . Тогда

Так как m(a−b) делится на k , то

Следовательно

и m является один из делителей числа p , то

где h=pqs.

Заметим, что можно допустить сравнения по отрицательным модулям, т.е. сравнение a≡b mod (p ) означает и в этом случае, что разность a−b делится на p . Все свойства сравнений остаются в силе и для отрицательных модулей.

Урок математики в 6 В классе

Тема : «Сравнение положительных и отрицательных чисел»

Тип урока : урок постановки учебной задачи

Формы работы : индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

Методы обучения : словесный, наглядный, практический, проблемный.

Оборудование : компьютер, мультимедийный проектор.

Цели урока :

Познавательные: сформулировать правило сравнения чисел с разными знаками, научиться применять его на практике.

Метапредметные, в том числе:

Регулятивные: поставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что еще неизвестно; определить последовательность действий для решения поставленной задачи; откорректировать результат с учетом оценки самим обучающимся, учителем, товарищами; осознать качество и уровень усвоения материала.

Коммуникативные: научиться инициативному сотрудничеству в поиске решения поставленной задачи; научиться с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

Ход урока

Мотивация.

Мы с вами продолжаем работать с положительными и отрицательными числами. С положительными числами мы знакомы давно, сначала мы научились их сравнивать, затем выполнять различные действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Как вы считаете, можно ли с отрицательными числами выполнять те же самые действия, что и с положительными? (отвечают). Чему бы вы хотели научиться сегодня на уроке?

Постановка цели: Вывести правило сравнения чисел с разными знаками, и научиться его применять.

Актуализация опорных знаний.

Задания для устной работы:

Дайте определение модуля.

Какой знак имеют числа, расположенные на координатной прямой правее нуля? Левее нуля?

Найдите модуль числа 6,8; -3,5; 18,11; 0,03; -12,3

Постановка учебной задачи.

Сравните модули чисел

Как сравнить числа с помощью координатной прямой?
Точка А на координатной прямой расположена левее точки В. Координата какой точки больше?
Какая точка на координатной прямой расположена левее?
1. А(0,6) или В(3,11)

Решение проблемы.

Для выполнения следующего задания разделимся на 5 групп по 6 человек. Каждой группе необходимо сравнить числа и ответить на поставленные вопросы

2. 2 и -11
3. -15 и 16

Первичное закрепление.

Назовите пять различных чисел

больших 0;

меньших 0;

меньших -5;

больших -3;

больших -11, но меньших -3

Между какими соседними целыми числами расположено число 3,8; число -8,9

Запишите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами -2,5 и 6; между числами -17,3 и -8,1

Самостоятельно запишите числа в порядке убывания -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

Постановка домашнего задания. п.29, учить правило сравнения положительных и отрицательных чисел, выполнить № 995, 996, 997, 999, 1000

Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Какие цели мы сегодня ставили на уроке, на все ли поставленные вопросы мы ответили?
Расскажите как сравнить положительное и отрицательное число?
Как сравнить два отрицательных числа?
Заполните, пожалуйста, оценочные карточки по сегодняшнему уроку.

Сравните числа с помощью координатной прямой:

2 и -11
-15 и 16

Дайте ответы на следующие вопросы:

Сравните два положительных числа

Сравните положительное число с нулем

Сравните отрицательное число с нулем

Сравните положительное и отрицательное числа

Сравните два отрицательных числа

Оценочный лист